Johdatus diskreetteihin dynaamisiin systeemeihin ja kaaokseen
Authors
Date
2022Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tämän tutkielman tarkoitus on auttaa lukijaa ymmärtämään matematiikkaa dynaamisten systeemien ja kaaoksen takana. Kirjoitelman toivotaan herättävän lukijassa kiinnostusta matemaattisia ilmiöitä kohtaan, sekä kannustavan empiiriseen matematiikan tutkimiseen. Tutkielmassa esitellään diskreettien dynaamisten systeemien toimintaperiaate, tutustutaan kaaokseen, sekä näiden sovelluksena esitellään Mandelbrotin joukko ja sen ominaisuuksia. Tutkielmassa käsitteitä esitellään pääosin sanallisesti selittäen menemättä liian syvällisiin matemaattisiin määritelmiin. Lukijan oletetaan hallitsevan lukion pitkän matematiikan oppimäärää vastaavat taidot. Tekstin ymmärtämisen kannalta lukijan oletetaan hallitsevan algebran ja analyyttisen geometrian lisäksi funktioiden ja yhtälöiden, raja-arvon ja derivaatan, lukujonojen, numeeristen menetelmien, sekä matemaattisen väitelauseen todistamisen perustaidot.
Dynaamisella systeemillä tarkoitetaan järjestelmää, joka riippuu ajasta. Järjestelmä voi olla hyvin yksinkertainen, kuten bakteerin leviäminen, tai todella monimutkainen, kuten pörssiosakkeen hinta. Ensimmäisessä luvussa tutustutaan miten systeemi käyttäytyy, kun sen taustalla on jokin yksinkertaisen funktio. Luvun lopussa perehdytään, miten dynaamista systeemiä voidaan hyödyntää populaation mallintamisessa ja samalla johdetaan populaation mallinnuksessa käytetyn logistisen funktion lauseke, jolla ilmenee olevan mielenkiintoisia ominaisuuksia.
Matematiikassa kaaoksella tarkoitetaan ilmiötä, jossa tarkasti määritelty systeemi alkaa käyttäytyä pitkällä aikavälillä täysin arvaamattomasti. Arkikielessä kaaoksella tarkoitetaan usein sekasortoa ja totaalista järjestyksen puuttumista. Niin ristiriitaiselta kuin se kuulostaakin, matematiikassa kaaoksella tarkoitetaan täysin päinvastaista, täydellisesti määriteltyä systeemiä niiden arvmaattomasta käyttäytymisestä huolimatta. Toisessa luvussa perehdytään logistisen funktion avulla ratajoukon kaoottiseen käyttäytymiseen. Luvussa määritellään kaoottisuus ja tarkastellaan hieman tarkemmin mikä tekee systeemistä kaoottisen. Luvun lopussa tutkitaan myös, miten satunnaisuus eroaa kaoottisuudesta.
Viimeisessä luvussa keskitytään matemaattisemmasta näkökulmasta iteroinnin avulla aikaan saatavaan Mandelbrotin joukkoon. Tätä varten luvussa esitellään kompleksiluvut, sekä muutamia muita kaksiuloitteisen avaruuden relevantteja käsitteitä. Mandelbrotin joukon ominaisuuksien esittämisen ja todistamisen yhteydessä lukijaa haastetaan hieman syvällisempään matemaattiseen ajatteluun. Lisäksi tarkastellaan, miten tietokoneen avulla voidaan luoda hämmästyttävän upeita kuvia Mandelbrotin joukosta ja miten kaaos liittyy Mandelbrotin joukkoon.
...
Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [28164]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Äärellisen väännön kuvaukset : diskreettisyys ja avoimuus
Rasimus, Martti (2015)Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella äärellisen väännön kuvauksia euklidisissa avaruuksissa, erityisesti niiden diskreettisyyttä ja avoimuutta. Äärellisen väännön kuvaukset ovat yleistys kvasisäännöllisistä k ... -
Kuratowskin lause
Kultalahti, Julius (2022)Tämä kandidaatin tutkielma käsittelee Kuratowskin lauseen todistuksen ja siihen vaadittavan matemaattisen pohjan. -
Alkulukutestejä
Aho, Vieno (2022)Tämän tutkielman aiheena on alkulukutestit, jotka ovat sellaisia menetelmiä ja algoritmeja, joiden avulla voidaan tutkia, onko jokin luku alkuluku vai alkulukujen tulo. Tutkielman alussa käydään läpi joitakin yksinkertaisia ... -
Option deltan laskeminen diskreetin Malliavin-laskennan avulla
Puustinen, Timo (2016)Tässä tutkielmassa esitellään tapa laskea diskreetti approksimaatio option deltalle. Approksimaatio saadaan diskreetin Malliavin-laskennan avulla ja tätä varten määritellään Malliavin-derivaatta sekä Skorohod-integraali ... -
Systematic implementation of higher order Whitney forms in methods based on discrete exterior calculus
Lohi, Jonni (Springer, 2022)We present a systematic way to implement higher order Whitney forms in numerical methods based on discrete exterior calculus. Given a simplicial mesh, we first refine the mesh into smaller simplices which can be used to ...