Johdatus diskreetteihin dynaamisiin systeemeihin ja kaaokseen

Abstract

Tämän tutkielman tarkoitus on auttaa lukijaa ymmärtämään matematiikkaa dynaamisten systeemien ja kaaoksen takana. Kirjoitelman toivotaan herättävän lukijassa kiinnostusta matemaattisia ilmiöitä kohtaan, sekä kannustavan empiiriseen matematiikan tutkimiseen. Tutkielmassa esitellään diskreettien dynaamisten systeemien toimintaperiaate, tutustutaan kaaokseen, sekä näiden sovelluksena esitellään Mandelbrotin joukko ja sen ominaisuuksia. Tutkielmassa käsitteitä esitellään pääosin sanallisesti selittäen menemättä liian syvällisiin matemaattisiin määritelmiin. Lukijan oletetaan hallitsevan lukion pitkän matematiikan oppimäärää vastaavat taidot. Tekstin ymmärtämisen kannalta lukijan oletetaan hallitsevan algebran ja analyyttisen geometrian lisäksi funktioiden ja yhtälöiden, raja-arvon ja derivaatan, lukujonojen, numeeristen menetelmien, sekä matemaattisen väitelauseen todistamisen perustaidot.

Dynaamisella systeemillä tarkoitetaan järjestelmää, joka riippuu ajasta. Järjestelmä voi olla hyvin yksinkertainen, kuten bakteerin leviäminen, tai todella monimutkainen, kuten pörssiosakkeen hinta. Ensimmäisessä luvussa tutustutaan miten systeemi käyttäytyy, kun sen taustalla on jokin yksinkertaisen funktio. Luvun lopussa perehdytään, miten dynaamista systeemiä voidaan hyödyntää populaation mallintamisessa ja samalla johdetaan populaation mallinnuksessa käytetyn logistisen funktion lauseke, jolla ilmenee olevan mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Matematiikassa kaaoksella tarkoitetaan ilmiötä, jossa tarkasti määritelty systeemi alkaa käyttäytyä pitkällä aikavälillä täysin arvaamattomasti. Arkikielessä kaaoksella tarkoitetaan usein sekasortoa ja totaalista järjestyksen puuttumista. Niin ristiriitaiselta kuin se kuulostaakin, matematiikassa kaaoksella tarkoitetaan täysin päinvastaista, täydellisesti määriteltyä systeemiä niiden arvmaattomasta käyttäytymisestä huolimatta. Toisessa luvussa perehdytään logistisen funktion avulla ratajoukon kaoottiseen käyttäytymiseen. Luvussa määritellään kaoottisuus ja tarkastellaan hieman tarkemmin mikä tekee systeemistä kaoottisen. Luvun lopussa tutkitaan myös, miten satunnaisuus eroaa kaoottisuudesta.

Viimeisessä luvussa keskitytään matemaattisemmasta näkökulmasta iteroinnin avulla aikaan saatavaan Mandelbrotin joukkoon. Tätä varten luvussa esitellään kompleksiluvut, sekä muutamia muita kaksiuloitteisen avaruuden relevantteja käsitteitä. Mandelbrotin joukon ominaisuuksien esittämisen ja todistamisen yhteydessä lukijaa haastetaan hieman syvällisempään matemaattiseen ajatteluun. Lisäksi tarkastellaan, miten tietokoneen avulla voidaan luoda hämmästyttävän upeita kuvia Mandelbrotin joukosta ja miten kaaos liittyy Mandelbrotin joukkoon.