Konformikuvauksia

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on käsitellä konformikuvauksia ja konformisia automorfismeja. Tutkielmassa esitellään erilaisia kuvausongelmia niin kompleksitasossa kuin Riemannin pallollakin. Konformisuus määritellään monin eri tavoin riippuen kirjallisuudesta. Tässä tutkielmassa käytämme määritelmää, jonka mukaan analyyttinen injektio on konformikuvaus kunhan määrittelyjoukko on avoin ja epätyhjä. Kuvausongelmia ratkaistaan konformikuvauksin ja havainnollistetaan kuvin.

Jotta Riemannin pallolla määriteltyjä kuvauksia voitaisiin käsitellä, tulee määritellä myös Riemannin pallo. Riemannin pallo on toisin sanoen laajennettu kompleksitaso, joka koostuu kompleksitasosta ja ääretönpisteestä. Ääretönpiste saadaan mukaan liittämällä kompleksitasoon pallo, jonka pohjoisnapa käyttäytyy kuten ääretön suhteessa kompleksitasoon. Kuvausongelmia tarkastellessa huomataan, että konformiset bijektiot voidaan hajottaa yksinkertaisempien konformisten bijektioiden yhdistelmäksi. Esimerkiksi eksponenttifunktion yleinen haara kuvaa konformisti sektorin alueeksi, jota rajoittaa kaksi logaritmista käyrää. Paloiteltuna, ensin sektori kuvautuu reaaliakselin suuntaiseksi kaistaleeksi. Sitten kaistale kääntyy ja lopulta eksponenttifunktio rajoittaa alueen kahdella logaritmisella käyrällä. Eksponentiaalifunktioiden lisäksi tarkastellaan rationaalifunktiota, sinifunktiota ja neliöjuurifunktiota sekä elliptisiä integraaleja.

Yksi keskeisimmistä tutkielman asioista on Möbius-kuvaukset. Ne ovat laajennetun kompleksitason eli Riemannin pallon konformikuvauksia. Tällaiset kuvaukset ovat luonteeltaan geometrisia eli ne kuvaavat ympyrät ympyröiksi tai suoriksi, jotka tulkitaan äärettömyyspisteen kautta kulkeviksi ympyröiksi. Möbius-kuvaukset ovat siis kuvauksia Riemannin pallolta itselleen. Jokainen Möbius-kuvaus on yksinkertaisempien Möbius-alkeiskuvauksien yhdistetty kuvaus.

Lopuksi käsitellään Möbius-kuvauksiin liittyvä sovellus Steinerin porismi. Se on matemaatikko Jakob Steinerin mukaan nimetty kuvausongelma, joka käsittelee sisäkkäisiä toisiaan leikkaamattomia erikeskisiä ympyröitä. Steinerin porismille esitetään ratkaisu, joka käyttää Möbius-kuvausten kuvausominaisuuksia.