Matriisin Jordanin muoto

Abstract

Tämä matematiikan pro gradu -tutkielma käsittelee matriisin Jordanin normaalimuotoa. Jordanin muoto on matriisin muoto, joka on lähempänä diagonaalimuotoa. Se on hyödyllinen tapauksessa, kun matriisi ei ole diagonalisoituva. Matriisin Jordanin muoto voidaan saada vähintään kaksi eri tavalla. Tässä työssä pohditaan matriisin Jordanin muotoa käyttämällä pohjimmillaan algebrallisia käsitteitä ja keinoja. Keskeinen työn käsite on polynomimatriisi. Polynomimatriisin peruslaskutoimitukset ja alkeismuunnokset voidaan määritellä vastaavasti kuin tavallisille matriisille. Lisäksi jokainen polynomimatriisi ekvivalentti diagonaalimatriisille, jonka lävistäjäalkiot ovat polynomimatriisin invariantit polynomit. Tämä diagonaalipolynomimatriisi kutsutaan polynomimatriisin Smithin normaalimuodoksi. Matriisin Jordanin muodon rakentamisessa käytetään alkeistekijän käsite. Alkeistekijät löytyy aina kun invarianttien polynomien kertoimet ovat algebrallisesti suljetun kunnan alkioita. Tämän kuntan esimerkkinä voi olla kompleksilukujen joukko.

Tutkielma jakaantuu kolmeen osaan. Ensimmäinen osa sisältää lineaarialgebran peruskäsitteitä sekä polynomin käsite ja polynomien jakoalgoritmi. Toinen osa sisältää matriisiteorian peruskäsitteitä ja esitietoja kuten matriisin määritelmä ja tyyppejä, laskutoimituksia matriisien välillä, matriisin determinantti, ominaisarvoteorian peruskäsitteitä jne. Tutkielman kolmannessa osassa määritellään matriisin Jordanin muoto ja Jordan hajotelman muodostaminen alkeistekijöiden avulla. Jokainen tutkielman luku sisältää lukuun kuuluvia esimerkkejä ja niiden ratkaisut.

This mathematics master’s thesis is covering the Jordan normal form of a matrix. Jordan normal form is close to the diagonal form. It is useful when a matrix is not diagonalisable. Jordan form of a matrix can be attained at least in two different ways. In this paper, the Jordan normal form is derived using algebraic theory. The main concept of this work is the polynomial matrix. The elementary transformations for a polynomial matrix are the same as for any other matrix. In addition to that, every polynomial matrix is equivalent to a diagonal matrix whose diagonal elements are the invariant polynomials of a polynomial matrix. This kind of diagonal polynomial matrix is called the Smith normal form. The elementary factor is introduced in order to construct the Jordan normal form. The elementary factor can always be found if the coefficients of the invariant polynomial are the elements of an algebraically closed field. It can be for example the set of complex numbers.

The thesis consists of three parts. The first part contains the basics of linear algebra, polynomials and the algorithm for the polynomial division. The second parts consists of the basics of the matrix theory, such as the matrix definition and types, operations between matrices, matrix determinant, basic concepts of the eigenvalue theory, etc. The Jordan normal form and the Jordan decomposition using elementary factors is defined in the third part. Each chapter of the thesis contains examples and solutions.