Jana-aritmetiikka geometrisesti

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on esittää vaihtoehtoinen tapa määritellä jana-aritmetiikka. Yleisesti jana-aritmetiikkaa määriteltäessä on totuttu antamaan janalle pituus, joka usein kiinnitetään reaalilukuihin. Tällä tavalla saadaan reaalilukujen algebrallisten ominaisuuksien avulla rakennettua jana-aritmetiikka, mutta tässä tutkielmassa lähdetäänkin lähestymään janoja täysin geometrian näkökulmasta. Geometria on yksi matematiikan vanhimmista osa-alueista ja jo noin 300 vuotta ennen ajanlaskun alkua Eukleides Aleksandrialainen julkaisi merkittävän teoksen Alkeet. Kirja on yksi kaikkien aikojen menestyneimmistä teoksista ja sitä käytettiin geometrian oppikirjana yli 2000 vuotta.

Geometrian pohjalle tarvitaan perusoletuksia eli aksioomia, joihin pohjautuen voidaan todistaa tuloksia suoraviivaisesti ja täsmällisesti. Tämän tutkielman päälähteenä on käytetty amerikkalaisen matemaatikon Robin Hartshornen teosta Geometry: Euclid and Beyond. Teoksen aksioomat tulevat saksalaisen matemaatikon David Hilbertin esittelemästä aksioomajärjestelmästä tasogeometrialle, jossa hän täydensi Eukleideen aiempia aksioomia.

Tutkielman alussa määritellään yhteen- ja kertolaskutoimitukset janoille geometrisesti ja näiden ominaisuudet todistetaan aksioomien avulla. Kertolaskun ominaisuuksien perusteluissa käytetään apuna myös syklisiä nelikulmioita, jotka ovat neljän pisteen joukkoja saman ympyrän kehältä. Nelikulmiot muodostuvat näiden pisteiden välisistä janoista, jotka eivät leikkaa toisiaan. Laskutoimitusten määrittelyn jälkeen siirrytään yhdenmuotoisiin kolmioihin, joissa vertaillaan kolmioiden kulmia ja sivujen suhteita. Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla voidaan todistaa merkittäviä lauseita, kuten Pythagoraan lause.

Lopuksi ympyrä sulkeutuu osoittamalla, että geometristen ominaisuuksien pohjalta jana-aritmetiikka toimii samalla tavalla kuin koulumatematiikassa karteesiseen koordinaatistoon ja reaalilukuihin pohjautuva tapa. On siis yhtäpitävää käyttää molempia geometrian lähestymistapoja, mutta geometrisen mallin vahvuus piilee siinä, että se ei ole sidottu mihinkään tiettyyn lukujärjestelmään. Näiden mallien yhtäläisyys todistetaan tutkielmassa tekemällä kuvaus geometriselta tasolta karteesiselle koordinaatistolle ja osoittamalla, että tämä kuvaus on isomorfinen.