Normalisoidun p-parabolisen yhtälön radiaaliset ratkaisut

Abstract

Tässä tutkielmassa tarkastellaan stokastisesta peliteoriasta esille tullutta normalisoitua p-parabolista yhtälöä ja tämän radiaalisten ratkaisujen yhteyttä klassiseen lämpöyhtälöön. Radiaalisia ratkaisuja tarkastellessa voidaan redusoida p-parabolinen yhtälö eräänlaiseksi yksiulotteiseksi lämpöyhtälöksi. Työn päätuloksena näytetään ekvivalenssitulos tämän redusoidun yhtälön jatkuvien heikkojen ratkaisujen ja alkuperäisen yhtälön radiaalisten viskositeettiratkaisujen välille. Tämän tuloksen ymmärtämistä varten käsitellään sekä divergenssimuotoisille yhtälöille soveltuvan heikkojen ratkaisujen teorian perusteita että degeneroituneesti elliptisille funktioille soveltuvaa viskositeettiratkaisujen teoriaa. Käytettyjen merkintöjen esittelyn jälkeen johdamme klassisen lämpöyhtälön ja sen fundamentaaliratkaisun, sekä todistamme alkuarvo-ongelman yksikäsitteisyyden. Tässä johdettu fundamentaaliratkaisu osoittautuu erääksi yksiulotteisen yhtälön ratkaisuksi oikein tulkittuna. Johdatteluna työn päätulokseen todistamme ekvivalenssituloksen näiden kahden ratkaisun käsitteelle lämpöyhtälön tapauksessa.