University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Fraktaalilaatoitukset

Thumbnail
View/Open
882.6Kb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Kankaanpää, Saana Kaarina
Date
2020
Discipline
Matematiikan opettajankoulutusTeacher education programme in Mathematics
Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

 
Tämä tutkielma käsittelee fraktaaligeometriaa sekä tarkemmin fraktaalilaatoituksia tasossa. Tutkielman pääasiallisena tarkoituksena on luoda pohja fraktaalilaatoitusten muodostamiselle. Tämä tehdään määritelemällä ensin Hausdorffin etäisyys sekä Banachin kiintopistelause. Jotta näiden määrittäminen voidaan tehdä, tutustutaan myös metrisiin avaruuksiin sekä niiden ominaisuuksiin. Tutkielman tärkeänä osana ovat iteroidut funktiojärjestelmät (IFS) sekä niiden attraktorit. IFS on fraktaalien rakentamiseksi luotu järjestelmä, jonka avulla fraktaalien mallintaminen on mahdollista. Tutkielmassa todistetaan Banachin kiintopistelausetta käyttäen, että täydellisessä metrisessä avaruudessa maaritetyllä IFS:llä on olemassa yksikäsitteinen attraktori. Tässä tutkielmassa fraktaaleja tutkitaan kaksiulotteisessa avaruudessa. Fraktaaliesimerkkejä käydään läpi ensin neljä kappaletta. Nämä ovat Cantorin joukko, Kochin käyrä, Sierpinskin kolmio sekä Mandelbrotin joukko. Näistä kolme ensimmäistä ovat IFS:n antamia. Annamme näille esimerkeille funktiojärjestelmät, joilla fraktaalit on helppo iteroiden muodostaa. Itse fraktaalilaatoituksiin tutustutaan neliöaatoitusten pohjalta. Fraktaalilaatoitusten todetaan koostuvan itsesimilaarisista fraktaalilaatoista eli jokainen yksittäinen laatta on toisensa kopio. Laattojen muodostamisessa käytetään iteroitua funktiojärjestelmää, jossa kutistussuhteet ovat kaikilla funktioilla samat ja saatu laatoitus riippuu vain siirtovektoreiden valinnasta. Tutkielma sisältää esimerkkejä, joiden avulla huomataan, mitkä ovat järkeviä valintoja siirtovektoreille ja mitkä eivät. Tarkkoja ehtoja fraktaalilaatoitusten muodostamiselle ei kuitenkaan anneta. Tutkielman alussa tutustutaan myös hieman fraktaalien historiaan. Kerrotaan esimerkiksi ensimmäisistä löydetyistä fraktaaleista sekä siitä, milloin fraktaaleja alettiin mallintamaan matemaattisesti. ...
Keywords
fraktaalilaatoitus matematiikka fraktaalit
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-202002182093

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [23396]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Julian joukot 

    Kivinen, Henna-Liisa (2013)
  • Dimension of projection : Marstrand's theorem 

    Pesonen, Sofia (2022)
    Tässä tutkielmassa todistetaan Marstrandin projektiolause käyttäen apuna potentiaaliteoriaa. Projektiolauseen mukaan 2-ulotteisen Borel joukon ortogonaaliprojektion Hausdorffin dimensio on luvun 1 ja kyseisen Borel joukon ...
  • Iterated function systems: natural measure and local structure 

    Käenmäki, Antti (University of Jyväskylä, 2003)
  • Cantorin joukon aritmetiikkaa 

    Törmälehto, Ronja (2022)
    Tämän tutkielman tarkoituksena on perehtyä Cantorin joukon aritmetiikkaan. Tutkielmassa keskitytään käsittelemään Cantorin 1/3-joukkoa. Aluksi käydään läpi Cantorin joukon määritelmä ja sen perusominaisuuksia, jonka jälkeen ...
  • Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin 

    Halinen, Hanna (2014)
    Fraktaaliderivaatta on derivaatta, jonka kertaluku on reaali- tai kompleksiluku. Fraktaaliderivaatta voidaan määritellä usealla eri tavalla, mutta mikään määritelmä ei ole selkeästi muita parempi. Koska fraktaaliderivaatan ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre