Matematiikkaa yhdessä : ikäsidonnaisuuden ylittävä opetuskokeilu perusopetuksessa

Abstract

Opetuskokeilun idea lähti liikkeelle halusta irrottautua perinteisestä ikäsidonnaisesta koulusysteemistä ja löytää uusia näkökulmia opetukseen eri ikäisten oppilaiden välisestä vuorovaikutuksesta. Tutkimustehtävänä oli selvittää, kuinka eri ikäiset oppilaat voivat tukea toistensa matematiikan oppimista. Tutkimukseen osallistui kahdeksan luokkien 4–9 oppilasta, joista muodostettiin kaksi mahdollisimman ikäsekoitteista ryhmää. Pienryhmät tekivät tehtäviä kahdessa työskentelysessiossa, jotka äänitettiin, ja äänitteistä valittiin tutkimustehtävän kannalta mielenkiintoisimmat katkelmat analysoitaviksi.

Keskusteluissa nousi vahvasti esiin oppilaiden keskuudessa vallitseva käsitys siitä, että matematiikan osaaminen on tiukasti sidoksissa oppilaan ikään. Tämän ikähierarkian seurauksena ryhmissä muodostui melko selkeä jako, jossa vanhin oppilas ohjasi muuta ryhmää. Toisaalta toisessa tutkimusryhmässä esiintyi myös hyvin selkeä poikkeama tästä ikäjaottelusta. Ryhmän toiseksi nuorin jäsen toimi yhdenvertaisena ohjaajana ryhmän vanhimman jäsenen kanssa, ja hänen osaamiseensa luotettiin. Oppilaiden välinen keskustelu ryhmätyöskentelyn aikana oli vuorovaikutteista, ja oppilaat vaativat kohtalaisen rohkeasti lisäperusteluja toistensa vastauksiin. Oppilaat kokivat erityisesti arkipäivän esimerkit toimivana keinona asioiden selittämisessä. Uusia käsitteitä lähestyttiin usein visuaalisesta näkökulmasta, joka on konkreettinen reitti lähestyä uutta asiaa. Haastavammissa tehtävissä oppilaiden vuorovaikutusta ja ymmärrystä heikensi se, ettei omia päätelmiä perusteltu riittävästi. Näissä tilanteissa opettajan ohjaus johdattelevien kysymysten kautta osoittautui tärkeäksi.

Opetuskokeilun yhdeksi pääaiheeksi valikoitui yhtälöiden ratkaiseminen, joka on matematiikan opetussuunnitelman tärkeimpiä osa-alueista. Yhtälöiden ratkomiseen syvennytään tässä pro gradussa historiakatsauksen kautta. Yhtälöiden ja käyrien välinen yhteys ymmärrettiin vasta uuden matematiikan aikana 1600-luvulla. Havainto siitä, että kukin yhtälö määrittelee käyrän toi matemaatikot uusien kysymysten äärelle. Yleistä konstruktiota n. asteen yhtälöille etsittiin aktiivisesti 1750-luvulle saakka. Yritykset eivät tuottaneet toivottua lopputulosta, mutta etsintöjen aikana onnistuttiin ennustamaan, että kaksi käyrää, jotka ovat m. ja n. astetta, leikkaavat nm pisteessä. Nykyään tämä periaate tunnetaan Bézout ́n lauseena. Jotta lause pätee, täytyy huomioon ottaa myös yhtälöparin kompleksiarvoiset ratkaisut sekä äärettömyyden pisteet. Äärettömyyden pisteiden tarkastelussa avuksi tulivat homogeeniset koordinaatit: Projektiotason pisteet voidaan esittää kolmiulotteisen avaruuden suorina, jotka kulkevat origon kautta. Kun valitaan mikä tahansa tavallinen taso T, joka ei kulje origon kautta, tason T suhteen äärettömyydessä sijaitsevat pisteet voidaan tulkita homogeenisesti tason T kanssa yhdensuuntaisina origon kautta kulkevina suorina.