P-adiset luvut ja avaruuksien Z_p euklidiset mallinnukset

Abstract

Tutkielmassa lähdetään liikkeelle metristen avaruuksien täydellistämisestä täydellisiksi metrisiksi avaruuksiksi, missä Cauchy-jonoilla on merkittävä rooli. Täydellistymisprosessista käydään läpi esimerkkinä rationaalilukujen täydellistäminen reaaliluvuiksi euklidisella normilla. Myöhemmin tutkitaan rationaalilukujen täydellistämistä toisenlaisella normilla, josta tulee hyvin erilainen kunta. Kappaleen 2 lopuksi käsitellään lause, jonka avulla saadaan muodostettua täydellinen metrinen avaruus kätevästi tietyillä ehdoilla. Tämän jälkeen tutkitaan kunnan normin erilaisia tuloksia ja määritellään jonon ominaisuuksia. Lisäksi perehdytään vahvaan kolmioepäyhtälöön, jonka toteuttavaa normia sanotaan epäarkhimediseksi. Seuraavaksi on järkevää yhdistää kahden aiemman kappaleen tuloksia ja tutkia normilla varustettujen kuntien täydellistämistä.

Näiden tulosten nojalla Kappaleessa 5 voidaan siirtyä pääasiaan eli p-adisiin lukuihin. P-adisia lukuja varten määritellään p-adinen normi, joka riippuu alkuluvusta p. P-adisten lukujen kunta Q_p saadaan täydellistämisprosessilla rationaaliluvuista p-adisella normilla. P-adisten lukujen joukosta saadaan myös toinen mielenkiintoinen joukko, p-adisten kokonaislukujen joukko Z_p. Kun ollaan päästy p-adisiin lukuihin, niin tutkitaan kuinka niiden aritmeettiset laskustoimitukset toimivat. Ne eroavat jossain määrin perinteisistä reaalilukujen laskutoimituksista, mutta jossain mielessä ne ovat jopa helpompia laskea. Tämän jälkeen tutkitaan rationaalilukujen ja p-adisten lukujen yhteyttä. Tarkoituksena on myös selvittää, voidaanko p-adisen luvun laajennuksesta päätellä minkälaista lukua se esittää. Seuraavaksi tutkitaan kongruenssiin liittyviä tuloksia avaruudessa Q_p. Keskeisin asia kongruenssiin liittyvissä tuloksissa on Henselin Lemma, jolla voidaan ratkaista polynomin juuria, kun kertoimet ovat p-adisia lukuja. Tämä on periaatteessa p-adinen veriso Newtonin menetelmästä, jolla etsitään reaalikertoimisen polynomin juuria.

Kappaleessa 9 tutkitaan topologisia perusominaisuuksia. Tästä päästään avaruuden Q_p palloihin, jotka käyttäytyvät hyvin eri lailla kuin avaruuden R pallot. Seuraavaksi tutkitaan Cantorin joukkkoa eli ``Cantorin kolmasosajoukkoa'' ja sen ominaisuuksia. Lisäksi kappaleessa kerrataan metristen avaruuksien kuvauksiin liittyviä ominaisuuksia. Näiden avulla luodaan yhteyksiä Cantorin joukkojen ja p-adisten kokonaislukujen joukon Z_p välille. Viimeisessä kappaleessa tutkitaan avaruuden Z_p euklidisia mallinnuksia. Tätä varten muodostetaan kuvaus joukolta Z_p välille [0,1]. Joukkojen Z_p kuvauksilla eri alkuluvun p arvoilla on jotain yhteistä: ne ovat kaikki fraktaaleja.