Derivaatasta ja derivoituvuudesta
Authors
Date
2018Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tässä tutkielmassa käsitellään derivaattaa ja siihen liittyviä ilmiöitä. Aluksi käydään läpi derivaatan ja jatkuvuuden yhteyttä, mitä on tutkittu matematiikassa paljon. Jo 1800-luvulla osoitettiin, että on olemassa jatkuva funktio, joka ei ole missään pisteessä derivoituva. Kuitenkin funktion derivoituvuudesta seuraa funktion jatkuvuus. Tätä ei pidä sekoittaa funktion derivaattafunktion jatkuvuuteen, sillä derivaattafunktiot eivät välttämättä ole jatkuvia. Niillä on kuitenkin vastaava ominaisuus kuin jatkuvilla funktioilla, eli välissäolevien arvojen olemassolo. Tästä seuraa, että derivaattafunktiolla voi olla vain oleellisia epäjatkuvuuspisteitä, eli pisteitä, joissa derivaattafunktion raja-arvoa ei ole olemassa tai se on ääretön.
Funktiot eivät ole aina derivoituvia. Tästä syystä on kehitetty yleistyksiä perinteisestä derivaatasta. Tässä tutkielmassa esitellään niistä Dinin derivaatat ja funktion johdos. Näiden avulla pystytään osoittamaan mahdollisesti derivoitumattomilla funktioilla vastaavanlaisia lauseita kuin perinteisellä derivaatalla.
Tietyt ominaisuudet funktioilla takaavat kuitenkin derivoituvuuden melkein kaikkialla niiden määrittelyjoukossa. Tällaisia ominaisuuksia ovat monotonisuus, rajoitetusti heilahtelevuus ja absoluuttinen jatkuvuus. Funktion johdoksien avulla voidaan osoittaa, että monotoniset funktiot ovat melkein kaikkialla derivoituvia. Tästä ominaisuudesta seuraa, että myös rajoitetusti heilahtelevat funktiot ja absoluuttisesti jatkuvat funktiot ovat melkein kaikkialla derioituvia.
Tutkielman lopussa käsitellään derivaatan integroimista ja osoitetaan, että jos funktio halutaan saada takaisin sen derivaattafunktiota integroimalla, on funktion oltava tällöin absoluuttisesti jatkuva. Vastaesimerkkinä toimii kuuluisa Cantorin funktio.
...
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [29060]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Differential structure associated to axiomatic Sobolev spaces
Giglia, Nicola; Pasqualetto, Enrico (Elsevier GmbH, Urban und Fischer, 2020)The aim of this note is to explain in which sense an axiomatic Sobolev space over a general metric measure space (à la Gol’dshtein–Troyanov) induces – under suitable locality assumptions – a first-order differential structure. -
Systematic implementation of higher order Whitney forms in methods based on discrete exterior calculus
Lohi, Jonni (Springer, 2022)We present a systematic way to implement higher order Whitney forms in numerical methods based on discrete exterior calculus. Given a simplicial mesh, we first refine the mesh into smaller simplices which can be used to ... -
Hamilton-Jacobi flows and characterization of solutions of Aronsson equations
Juutinen, Petri; Saksman, Eero (Scuola normale superiore di Pisa, 2007) -
Convex functions on Carnot groups
Juutinen, Petri; Lu, Guozhen; Manfredi, Juan; Stroffolini, Bianca (European Mathematical Society Publishing House, 2007)We consider the definition and regularity properties of convex functions in Carnot groups. We show that various notions of convexity in the subelliptic setting that have appeared in the literature are equivalent. Our point ... -
Hyperreaaliluvut
Pienimäki, Santtu (2017)Hyperreaaliluvut ovat reaalilukujen joukon laajennus, jossa on olemassa äärettömän pieniä ja suuria lukuja. Hyperreaalilukuja käytetään differentiaali- ja integraalilaskennassa. Metodi on suosittu erityisesti fyysikoiden ...