Show simple item record

dc.contributor.advisorKilpeläinen, Tero
dc.contributor.authorLehtola, Piia
dc.date.accessioned2018-10-31T06:21:02Z
dc.date.available2018-10-31T06:21:02Z
dc.date.issued2018
dc.identifier.urihttps://jyx.jyu.fi/handle/123456789/60048
dc.description.abstractTässä tutkielmassa käsitellään derivaattaa ja siihen liittyviä ilmiöitä. Aluksi käydään läpi derivaatan ja jatkuvuuden yhteyttä, mitä on tutkittu matematiikassa paljon. Jo 1800-luvulla osoitettiin, että on olemassa jatkuva funktio, joka ei ole missään pisteessä derivoituva. Kuitenkin funktion derivoituvuudesta seuraa funktion jatkuvuus. Tätä ei pidä sekoittaa funktion derivaattafunktion jatkuvuuteen, sillä derivaattafunktiot eivät välttämättä ole jatkuvia. Niillä on kuitenkin vastaava ominaisuus kuin jatkuvilla funktioilla, eli välissäolevien arvojen olemassolo. Tästä seuraa, että derivaattafunktiolla voi olla vain oleellisia epäjatkuvuuspisteitä, eli pisteitä, joissa derivaattafunktion raja-arvoa ei ole olemassa tai se on ääretön. Funktiot eivät ole aina derivoituvia. Tästä syystä on kehitetty yleistyksiä perinteisestä derivaatasta. Tässä tutkielmassa esitellään niistä Dinin derivaatat ja funktion johdos. Näiden avulla pystytään osoittamaan mahdollisesti derivoitumattomilla funktioilla vastaavanlaisia lauseita kuin perinteisellä derivaatalla. Tietyt ominaisuudet funktioilla takaavat kuitenkin derivoituvuuden melkein kaikkialla niiden määrittelyjoukossa. Tällaisia ominaisuuksia ovat monotonisuus, rajoitetusti heilahtelevuus ja absoluuttinen jatkuvuus. Funktion johdoksien avulla voidaan osoittaa, että monotoniset funktiot ovat melkein kaikkialla derivoituvia. Tästä ominaisuudesta seuraa, että myös rajoitetusti heilahtelevat funktiot ja absoluuttisesti jatkuvat funktiot ovat melkein kaikkialla derioituvia. Tutkielman lopussa käsitellään derivaatan integroimista ja osoitetaan, että jos funktio halutaan saada takaisin sen derivaattafunktiota integroimalla, on funktion oltava tällöin absoluuttisesti jatkuva. Vastaesimerkkinä toimii kuuluisa Cantorin funktio.fi
dc.format.extent51
dc.language.isofi
dc.subject.otherderivaatta
dc.subject.otherderivoituvuus
dc.titleDerivaatasta ja derivoituvuudesta
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:jyu-201810314561
dc.type.ontasotMaster’s thesisen
dc.type.ontasotPro gradu -tutkielmafi
dc.contributor.tiedekuntaMatemaattis-luonnontieteellinen tiedekuntafi
dc.contributor.tiedekuntaFaculty of Sciencesen
dc.contributor.laitosMatematiikan ja tilastotieteen laitosfi
dc.contributor.laitosDepartment of Mathematics and Statisticsen
dc.contributor.yliopistoJyväskylän yliopistofi
dc.contributor.yliopistoUniversity of Jyväskyläen
dc.contributor.oppiaineMatematiikan opettajankoulutusfi
dc.contributor.oppiaineTeacher education programme in Mathematicsen
dc.rights.copyrightJulkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.fi
dc.rights.copyrightThis publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.en
dc.contributor.oppiainekoodi4041
dc.subject.ysoderivoiminen
dc.subject.ysofunktiot
dc.subject.ysodifferentiaalilaskenta


Files in this item

Thumbnail

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record