University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Johdanto yleistettyyn sini- ja kosinifunktioon

Thumbnail
View/Open
484.6Kb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Mikkola, Topias
Date
2018
Discipline
MatematiikkaMathematics
Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

 
Tässä tutkielmassa määritellään sini- ja kosinifunktiot sinifunktion käänteisfunktion avulla ja näiden funktioiden yleistykset eli funktiot sinp ja cosp aiempia määritelmiä varioimalla. Samalla osoitetaan, että merkittävä osa sini- ja kosinifunktioiden ominaisuuksista periytyy yleistyksille. Edelleen tutkitaan millä tasolla yleistykset vastaavat geometrisessä mielessä tavallisia sini- ja kosinifunktioita. Lopuksi tarkastellaan lyhyesti yleistettyjen funktioiden määrittelyn taustoja ja merkitystä kirjallisuudessa. Sinifunktio määritellään määrittelemällä ensin sen käänteisfunktio avoimella rajoitetulla välillä integroimalla sinifunktion käänteisfunktion derivaattaa. Käänteisfunktio laajennetaan määritellyksi myös välin päätepisteissä. Käänteisfunktion avulla määritellään sinifunktio paloittain koko reaaliakselille hyödyntäen käänteisfunktiolta periytyviä ominaisuuksia kuten jatkuvuutta, rajoittuneisuutta ja parittomuutta. Sitten osoitetaan, että myös käänteisfunktion derivoituvuus periytyy sinifunktiolle ja käsittää koko reaaliakselin. Tämän jälkeen kosinifunktio määritellään sinifunktion derivaattana ja osoitetaan, että kosinifunktiolla on vastaavat ominaisuudet kuin sinifunktiollakin. Huomataan, että sinifunktio saadaan kosinifunktion derivaatan vastalukuna ja siten nämä funktiot ovat äärettömästi derivoituvia. Sini- ja kosinifunktiolle osoitetaan myös muutamia yhteenlaskukaavoja sekä Pythagoraan trigonometrinen identiteetti. Funkiot sinp ja cosp määritellään aiempien määrittelyiden rakennetta hyödyntäen siten, että uudet funktiot ovat parametrista p riippuvaisia ja yhtyvät sini- ja kosinifunktioon parametrin p arvolla kaksi. Sitten osoitetaan, että myös yleistyksillä on edellä mainitut klassisten vastineidensa ominaisuudet. Tosin sinp-funktion tiedetään olevan vain kertaalleen derivoituva, eikä funktiota sinp siten voida suoraan esittää cosp -funktion derivaatan avulla. Funktioille sinp tai cosp ei voida myöskään johtaa Pythagoraan trigonometrisen identiteetin lisäksi muita yksinkertaisia vastineita sini- ja kosinifunktiolle näytetyistä yhteenlaskukaavoista. Geometrista tarkastelua varten määritellään lp -normi, joka vastaa tavallista Euklidista normia parametrin p arvolla kaksi. Sitten osoitetaan, että sinp- ja cosp -funktioilla voidaan parametrisoida lp -normin määrittämä yksikköympyrä. Tämän tuloksen avulla määritetään klassista napakoordinaattiesitystä vastaava yleistetty napakoordinaattiesitys lp -normin virittämään reaalitasoon. Samalla näytetään, että funktioiden sinp ja cosp argumentit eivät klassisen tapauksen tapaan vastaa yksikköympyrän sektorin kaaren pituutta. Huomataan myös, ettei Euklidisesta metriikasta tuttu sektorin kaaren pituuden ja pinta-alan välinen yhteys ole voimassa muissa lp -normin virittämissä reaalitasoissa. Etsittäessä geometristä tulkintaa yleistetyn sinifunktion argumentille huomataan, että yksikköympyrän sektorin kaksinkertainen pinta-ala toimii erään 1800-luvulla määritetyn sinifunktion yleistyksen argumenttina. Kirjallisuuslähteiden perusteella voidaan todeta, että myös myöhemmin tätä aihetta tutkineet matemaatikot ovat päätyneet yleistettyihin trigonometrisiin funktioihin tutkiessaan alkuarvo-ongelmia. Erityisesti sinp-funktio on ratkaisu erääseen eri muodoissaan paljon tutkittuun Dirichtletin alkuarvo-ongelmaan.
Keywords
yleistetyt trigonometriset funktiot sinp cosp sinifunktio kosinifunktio trigonometriset funktiot funktiot
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-201809264244

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [23424]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset 

    Karttunen, Hanna-Kaisa (2014)
    Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. ...
  • Konformisia ja lokaalisti konformisia kuvauksia 

    Jäntti, Pasi (2019)
    Tässä tutkielmassa perehdytään konformikuvauksiin liittyvään teoriaan. Erityisesti tarkastellaan konformikuvauksia eri kompleksitason alueiden välillä. Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan Riemannin kuvauslause, jonka ...
  • Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla 

    Kauppinen, Jussi (2020)
    Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että ...
  • Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat 

    Hakavuori, Eero (2014)
    Tämän tutkielman tavoitteena on esittää, miten analyyttisen funktion määrittelyjoukko laajennetaan Riemannin pinnaksi, joka sisältää informaation kaikista funktion analyyttisistä jatkeista kompleksitasossa. Tätä Riemannin ...
  • Cauchyn lause ja potentiaalifunktiot 

    Haasianlahti, Ivar (2019)
    Tämä tutkielma käsittelee reaalisia ja kompleksisia tieintegraaleja tasossa. Kiinnostuksen kohteena ovat erityisesti ne erikoistapaukset, joissa integrointiin liittyvä tie on suljettu, ja integroitava kuvaus on joko lokaalisi ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre