Johdanto yleistettyyn sini- ja kosinifunktioon

Abstract

Tässä tutkielmassa määritellään sini- ja kosinifunktiot sinifunktion käänteisfunktion avulla ja näiden funktioiden yleistykset eli funktiot sin<i><SUB>p</SUB></i> ja cos<i><SUB>p</SUB></i> aiempia määritelmiä varioimalla. Samalla osoitetaan, että merkittävä osa sini- ja kosinifunktioiden ominaisuuksista periytyy yleistyksille. Edelleen tutkitaan millä tasolla yleistykset vastaavat geometrisessä mielessä tavallisia sini- ja kosinifunktioita. Lopuksi tarkastellaan lyhyesti yleistettyjen funktioiden määrittelyn taustoja ja merkitystä kirjallisuudessa.

Sinifunktio määritellään määrittelemällä ensin sen käänteisfunktio avoimella rajoitetulla välillä integroimalla sinifunktion käänteisfunktion derivaattaa. Käänteisfunktio laajennetaan määritellyksi myös välin päätepisteissä. Käänteisfunktion avulla määritellään sinifunktio paloittain koko reaaliakselille hyödyntäen käänteisfunktiolta periytyviä ominaisuuksia kuten jatkuvuutta, rajoittuneisuutta ja parittomuutta. Sitten osoitetaan, että myös käänteisfunktion derivoituvuus periytyy sinifunktiolle ja käsittää koko reaaliakselin. Tämän jälkeen kosinifunktio määritellään sinifunktion derivaattana ja osoitetaan, että kosinifunktiolla on vastaavat ominaisuudet kuin sinifunktiollakin. Huomataan, että sinifunktio saadaan kosinifunktion derivaatan vastalukuna ja siten nämä funktiot ovat äärettömästi derivoituvia. Sini- ja kosinifunktiolle osoitetaan myös muutamia yhteenlaskukaavoja sekä Pythagoraan trigonometrinen identiteetti.

Funkiot sin<i><SUB>p</SUB></i> ja cos<i><SUB>p</SUB></i> määritellään aiempien määrittelyiden rakennetta hyödyntäen siten, että uudet funktiot ovat parametrista <i><SUB>p</SUB></i> riippuvaisia ja yhtyvät sini- ja kosinifunktioon parametrin <i><SUB>p</SUB></i> arvolla kaksi. Sitten osoitetaan, että myös yleistyksillä on edellä mainitut klassisten vastineidensa ominaisuudet. Tosin sin<i><SUB>p</SUB></i>-funktion tiedetään olevan vain kertaalleen derivoituva, eikä funktiota sin<i><SUB>p</SUB></i> siten voida suoraan esittää cos<i><SUB>p</SUB></i> -funktion derivaatan avulla. Funktioille sin<i><SUB>p</SUB></i> tai cos<i><SUB>p</SUB></i> ei voida myöskään johtaa Pythagoraan trigonometrisen identiteetin lisäksi muita yksinkertaisia vastineita sini- ja kosinifunktiolle näytetyistä yhteenlaskukaavoista.

Geometrista tarkastelua varten määritellään l<i><SUB>p</SUB></i> -normi, joka vastaa tavallista Euklidista normia parametrin <i><SUB>p</SUB></i> arvolla kaksi. Sitten osoitetaan, että sin<i><SUB>p</SUB></i>- ja cos<i><SUB>p</SUB></i> -funktioilla voidaan parametrisoida l<i><SUB>p</SUB></i> -normin määrittämä yksikköympyrä. Tämän tuloksen avulla määritetään klassista napakoordinaattiesitystä vastaava yleistetty napakoordinaattiesitys l<i><SUB>p</SUB></i> -normin virittämään reaalitasoon. Samalla näytetään, että funktioiden sin<i><SUB>p</SUB></i> ja cos<i><SUB>p</SUB></i> argumentit eivät klassisen tapauksen tapaan vastaa yksikköympyrän sektorin kaaren pituutta. Huomataan myös, ettei Euklidisesta metriikasta tuttu sektorin kaaren pituuden ja pinta-alan välinen yhteys ole voimassa muissa l<i><SUB>p</SUB></i> -normin virittämissä reaalitasoissa.

Etsittäessä geometristä tulkintaa yleistetyn sinifunktion argumentille huomataan, että yksikköympyrän sektorin kaksinkertainen pinta-ala toimii erään 1800-luvulla määritetyn sinifunktion yleistyksen argumenttina. Kirjallisuuslähteiden perusteella voidaan todeta, että myös myöhemmin tätä aihetta tutkineet matemaatikot ovat päätyneet yleistettyihin trigonometrisiin funktioihin tutkiessaan alkuarvo-ongelmia. Erityisesti sin<i><SUB>p</SUB></i>-funktio on ratkaisu erääseen eri muodoissaan paljon tutkittuun Dirichtletin alkuarvo-ongelmaan.