Tason isometriat ja similariteetit kompleksiluvuilla

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella isometrioita ja similariteettejä tasossa kompleksilukujen avulla. Tässä kirjoitelmassa tarvitaan kompleksilukujen ominaisuuksista ainakin kompleksiluvun käänteisluku ja argumenttien laskusäännöt. Lisäksi isometrioiden tulosten todistamista helpottavat erilaiset kompleksilukujen esitystavat, kuten napakoordinaattiesitys ja imaginääriyksikön avulla esittäminen. Isometriat ovat kuvauksia, jotka säilyttävät jokaisen pisteen välisen etäisyyden kuvauksen aikana. Tason isometrioita ovat siirto, kierto, peilaus ja peilauksen ja siirron yhdisteenä saatava liukupeilaus. Edellä mainitut kaikki Gaussin tason isometriat voidaan jakaa kahteen luokkaan: suoriin tai vastakkaisiin isometrioihin. Suoriin isometrioihin kuuluvat siirrot ja kierrot. Vastakkaisiin kuuluvat peilaukset ja liukupeilaukset. Isometriat jaotellaan myös tarkemmin vielä kiintopisteiden avulla. Jos suoralla isometrialla on kiintopiste, se on tämän kiintopisteen suhteen kierto, ja jos sillä ei ole kiintopistettä, se on siirto. Vastakkaiset isometriat jaotellaan kiintopisteen suhteen liukupeilaukseen ja suoran suhteen peilaukseen. Suoran suhteen peilauksilla on kiintopiste ja liukupeilauksilla ei ole kiintopistettä. Lisäksi siirto ja kierto voidaan ilmoittaa kahden suoran suhteen peilauksen avulla. Näiden tietojen avulla saadaan, että jokainen isometria voidaan esittää korkeintaan kolmen suoran suhteen peilauksen avulla. Similariteetit joko venyttävät tai kutistavat kuvia. Similariteetit jaetaan suoriin ja vastakkaisiin similariteetteihin, kuten isometriatkin. Kummatkin kuvaukset säilyttävät kolmioiden kulmien suuruudet samana kuvautuessa. Lisäksi näille kummallekin kuvaukselle voidaan muotoilla Hjelmslevin lause. Isometroille tämä tarkoittaa sitä, että kuvatun suoran kuvapisteiden ja alkuperäisen suoran pisteiden välisten janojen keskipisteet ovat joko samalla suoralla tai kulkevat yhden ainoan pisteen kautta. Similariteeteille nämä eivät ole keskipisteitä, vaan janat jaetaan samassa suhteessa.