Numeeriset yhtälönratkaisumenetelmät

Abstract

Tämän tutkielman tavoitteena on käsitellä numeerisia yhtälönratkaisumenetelmiä matematiikan aineenopettajan näkökulmasta ja toimia lukion numeerisen matematiikan kurssin opettajan taustamateriaalina. Keskeinen sisältö käsittelee Lipschitz-jatkuvuutta, iteraatiota sekä Newton-Raphsonin menetelmää.

Yhtälönratkaisu ja kahden lausekkeen yhtäsuuruuksien vertailu palautuu aina matematiikan klassiseen ongelmaan funktion nollakohdan etsimisestä. Keskeiset numeerisen yhtälönratkaisun metodit ovat rekursio ja iteraatio. Rekursio tarkoittaa oleellisesti toistoa. Iteraatiossa edellinen likiratkaisu ohjaa tarkentavasti seuraavan likiratkaisun laskentaa. Tällöin muodostuu tarkentuvien likiratkaisuiden lukujono, joka suotuisassa tapauksessa suppenee kohti alkuperäisen funktion nollakohtaa. Iteraatiossa yhteys alkuperäisen funktion nollakohtayhtälön f(x) = 0 sekä iteraattifunktion iterointiyhtälön x = phi(x) välillä on oleellinen, sillä iterointiyhtälön kiintopiste on myös alkuperäisen funktion nollakohta. Siten iterointi toimii työvälineenä nollakohdan likiarvon määrittämisessä.

Iteraattifunktio ei ole yksikäsitteinen. Jotkin iteraatiomenetelmät toimivat paremmin kuin toiset. Oleellista suppenemiselle on riittävän läheltä nollakohtaa valittu alkuarvaus. Huonosti valittu alkuarvaus ja sopimaton iteraatiomenetelmä johtavat suppenemisen sijaan likiratkaisulukujonon hajaantumiseen. Iteraation suppenemisesta voidaan kuitenkin varmistua, jos pystytään osoittamaan, että iteraattifunktio on ratkaisun lähiympäristössä kutistavasti Lipschitz-jatkuva. Tällöin Lipschitz-ehto takaa, että funktio käyttäytyy nollakohdan lähiympäristössä maltillisesti ja "pomppimatta". Käytännöllisenä apuvälineenä Lipschitz-jatkuvuuden tutkimiseen hyödynnetään usein Lipschitz-jatkuvuuden derivoituvuusehtoa.

Yksinkertaisimmillaan yhtälönratkaisumenetelmä on rekursiivinen puolitushaku, joka tarkentuu tarkasteluväliä puolittaen ja samalla nollakohdan välin sisäpuolella säilyttäen. Yksinkertaisin iteraatio on kiintopistemenetelmä, joka suppenee lineaarisesti. Tutkittaessa suppenemisnopeuden kiihdyttämistä päädytään Aitkenin kaavaan, jolla saadaan likiratkaisuiden poikkeaman eli liki- ja tosiratkaisun välisen etäisyyden suppenemiseen huomattava parannus. Kysymykseen voidaanko yleisesti määritellä iteraattifunktio, jonka suppenemisnopeus on vähintään neliöityvä, löydetään ehto, joka johtaa Newton-Raphsonin menetelmän palautuskaavaan ja samalla menetelmän konstruktiiviseen perusteluun. Oleellisesti Newtonin menetelmä perustuu derivaatan käyttöön, jolloin graafisesti seuraava nollakohdan likiarvo löydetään funktion kuvaajalle piirretyn tangentin ja x-akselin leikkauskohdasta. Ylilineaarisesti suppenevat jänne- ja sekanttimenetelmä esitellään lyhyesti, mutta itsenäisinä menetelminä läpikäymisen sijasta lähinnä Newtonin menetelmän käytännöllisinä sovelluksina, kun funktion derivaatan arvoa on hankala laskea tai ylipäänsä derivaatta on vaikea muodostaa.