Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. Harmonisten funktioiden määrittämiseen voidaan käyttää Cauchy-Riemannin yhtälöitä. Harmoniset funktioit ovat yhteydessä analyyttisiin funktioihin, sillä harmonisten funktioiden avulla voidaan selittää analyyttisten kuvausten teoriaa ja päinvastoin. Tämän tutkielman kannalta tärkeimpiä analyyttisiä kuvauksia ovat injektiiviset kuvaukset, jotka tunnetaan myös konformikuvauksina. Konformikuvaukset ovat alueiden välisiä kuvauksia, jotka säilyttävät kulmien suuruuden ja suunnan ja joiden derivaatta on äärellinen ja nollasta eroava. Harmonisten funktioiden ja konformikuvausten välillä on monia tärkeitä yhteyksiä. Esimerkiksi, jos harmoniselle funktiolle tehdään konforminen muuttujanvaihto, niin myös tuloksena saatu funktio on harmoninen.

Tutkielman motivaationa on oppia ratkaisemaan Dirichlet'n ongelma erityisesti puolitasossa, kiekossa ja monikulmiossa. Dirichlet'n ongelma määritellään usein sellaisessa alueessa, jossa se on vaikea ratkaista. Siten tavoitteena on löytää analyyttinen kuvaus monimutkaisesta alueesta yksinkertaisempaan alueeseen, jossa ongelma on ratkaistavissa. Tällainen analyyttinen kuvaus löydetään tunnettujen konformikuvausten joukosta tai se ratkaistaan esimerkiksi lineaaristen rationaalikuvausten tai Schwarz-Christoffelin kaavan avulla. Puolitasossa ja yksikkökiekossa ongelman ratkaisemiseen voidaan soveltaa Poissonin integrointikaavoja. Dirichlet'n ongelman ratkaiseminen noudattaa neljän vaiheen ratkaisumenetelmää.