Polynomimatriisit

Abstract

Tämän tutkielman sisältö voidaan karkeasti jakaa kahteen osaan. Ensimmäisessä on tarkoituksena tarkastella polynomimatriiseja ja erityisesti osoittaa toimiviksi kaksi niiden muokkaamiseen soveltuvaa algoritmia. Algoritmit toimivat osittain samalla idealla kuin lineaarialgebran perusteista tuttu Gaussin ja Jordanin menetelmä. Polynomit tuovat menetelmiin kuitenkin uutta sisältöä erityisesti jaollisuusominaisuuksiensa vuoksi. Tarkasteltavat matriisit ovat aina neliömatriiseja, ja polynomien kerroinkunnan karakteristika oletetaan nollaksi.

Ensimmäinen algoritmi osoittaa, että Gaussin menetelmän polynomimatriiseille yleistetyillä rivioperaatioilla voidaan aina muokata polynomimatriisi yläkolmiomuotoon. Toinen puolestaan ottaa käyttöön myös sarakeoperaatiot. Tällöin voidaan muokata mikä tahansa polynomimatriisi sellaiseksi diagonaalimatriisiksi, jonka nollasta eroavat lävistäjäpolynomit ovat perusmuotoisia, ja edellinen jakaa aina seuraavan. Lisäksi nollapolynomit voivat esiintyä lävistäjällä vain siten, että nollapolynomia seuraava lävistäjäpolynomi on myös nollapolynomi. Tällaista muotoa olevaa polynomimatriisia kutsutaan alkuperäisen matriisin Smithin normaalimuodoksi. Se on lisäksi yksikäsitteinen, mikä on myös tarkoituksena osoittaa. Tulos tarkoittaa myös sitä, että jokainen polynomimatriisi on ekvivalentti Smithin normaalimuotonsa kanssa.

Tutkielman toisena osana on esitellyn polynomimatriisien teorian hyödyntäminen kuntakertoimisten matriisien teoriassa. Yhtenä keskeisimpänä tavoitteena on määritellä kuntakertoimisen matriisin karakteristinen polynomi käyttämättä lainkaan determinanttia. Tämä tapahtuu hyödyntämällä polynomimatriisin yläkolmiomuotoa. Vaihtoehtoisena laskutapana esitetään myös polynomirenkaan osamääräkuntaa hyödyntävä keino. Toinen tämän jälkimmäisen osan päätavoitteista on määritellä Smithin normaalimuodon avulla kuntakertoimiselle matriisille similaarisuusinvariantit ja osoittaa, että niistä voidaan päätellä matriisin Frobeniuksen ja Jordanin muodot. Teoria pohjautuu lauseeseen, jonka mukaan kuntakertoimiset matriisit A ja B ovat similaariset täsmälleen silloin, kun polynomimatriisit A-xI ja B-xI ovat ekvivalentit. Toisin sanoen näillä polynomimatriiseilla on silloin sama Smithin normaalimuoto.