Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Abstract

Fraktaaliderivaatta on derivaatta, jonka kertaluku on reaali- tai kompleksiluku. Fraktaaliderivaatta voidaan määritellä usealla eri tavalla, mutta mikään määritelmä ei ole selkeästi muita parempi. Koska fraktaaliderivaatan ominaisuudet riippuvat valitusta määritelmästä, ominaisuuksia ei voida suoraan yleistää kaikille fraktaaliderivaatoille. Tämän tutkielman tarkoitus on antaa lukijalle perustiedot reaalilukukertaisista fraktaaliderivaatoista ja niiden määritelmäsidonnaisista ominaisuuksista.

Tutkielmassa esitellään kolme yleisimmin viitattua määritelmää: Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville ja Caputo. Grünwald-Letnikovin määritelmä yleistää klassisen derivaatan määritelmän suoraan reaali- ja kompleksiluvuille, minkä vuoksi se on helpoiten ymmärrettävissä analyysin perustietojen pohjalta. Riemann-Liouvillen määritelmä yhdistää fraktaaliderivaatan ja fraktaali-integraalin käsitteet. Caputon fraktaaliderivaatta on taas kehitetty sovellusten näkökulmasta.

Vaikka fraktaaliderivaatan ominaisuudet riippuvat valitusta määritelmästä, joitakin ominaisuuksia voidaan yleistää. Ensiksi, fraktaaliderivaatta on yhtäpitävä klassisen derivaatan kanssa, kun sen kertaluku on kokonaisluku. Toiseksi, fraktaalinen differintegraalioperaattori (engl. fractional differintegral operator) on lineaarinen. Määritelmästä riippuvia ominaisuuksia ovat esimerkiksi Riemann-Liouvillen fraktaali-integraalien vaihdannaisuus sekä Riemann-Liouvillen / Caputon fraktaaliderivaatan additiivisuus klassisen derivaatan kanssa. Riemann-Liouvillen ja Caputon määritelmien välillä on kuitenkin se ero, että additiivisuus pätee toiselle päinvastaisessa järjestyksessä. Siten fraktaaliderivaatat eivät kommutoi. Riemann-Liouvillen differintegraalioperaattorin tärkeä ominaisuus on myös se, että derivointioperaattori on samaa kertalukua olevan integrointioperaattorin vasen käänteisoperaatio.

Määritettäessä funktioiden fraktaaliderivaatan lausekkeita Riemann-Liouvillen ja Grünwald-Letnikovin määritelmät antavat samat tulokset. Caputon määritelmä ei kuitenkaan ole yhtäpitävä edellisten määritelmien kanssa muulloin kuin erikoistapauksissa. Merkittävin ero näiden määritelmien välillä on, että vakion Grünwald-Letnikovin ja Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaatat eivät ole nollia, kun taas Caputon fraktaaliderivaatta on nolla.

Fraktaaliderivaatan sovelluksia ovat erilaiset fraktaalidifferentiaaliyhtälöt. Fraktaalidifferentiaaliyhtälö saadaan, kun klassisen differentiaaliyhtälön derivaatta korvataan fraktaaliderivaatalla. Alkuarvotehtävissä Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaatan käyttö on kuitenkin ongelmallista, sillä se tuottaa alkuehdoiksi reaalilukukertaisia derivaattoja, joille ei ole keksitty fysikaalista tulkintaa. Caputon fraktaaliderivaattaa käytettäessä vastaavaa ongelmaa ei ole. Fraktaalidifferentiaaliyhtälöt ovat nykyään tärkeä tutkimuskohde muun muassa fysiikassa. Tässä tutkielmassa esitellään yksi esimerkki fysiikan sovelluksesta: fraktaalivärähtelijän differentiaaliyhtälö. Numeerisin menetelmin on havaittu, että fraktaalivärähtelijällä on sisäinen vaimenemismekanismi, joten se ei voi muodostaa lainkaan eristettyä systeemiä. Toistaiseksi on kuitenkin epäselvää, mistä fraktaalivärähtelijän sisäinen vaimenemismekanismi johtuu.