Hamilton-Jacobi equations

Abstract

Tämä Pro gradu-tutkielma käsittelee Hamiltonin ja Jacobin yhtälöitä, jotka kuvaavat mekaanisen järjestelmän kehitystä klassisen mekaniikan puitteissa. Hamiltonin ja Jacobin yhtälöitä käytetään myös säätöteoriassa sekä kvanttimekaniikassa. Hamiltonin mekaaniikan kehitti Sir William Rowan Hamilton valon käytöksen mallintamiseen ja Carl Gustav Jacob Jacobi kehitti sitä edelleen.

Tutkielmassa annamme ehdot, joiden nojalla Hopfin ja Laxin kaava antaa ratkaisun Hamiltonin ja Jacobin yhtälöihin liittyvään alkuarvo-ongelmaan. Sen jälkeen määritämme sopivan heikon ratkaisun käsitteen ja näytämme heikkojen ratkaisujen olevan yksikäsitteisiä tietyillä ehdoilla. Lähestymme Hamiltonin ja Jacobin alkuarvo-ongelmaa asettamalla variaatio-ongelman, jonka Hopfin ja Laxin kaava ratkaisee. Osoitamme, että Hopfin ja Laxin kaavan antama ratkaisuehdokas on Lipschitz-jatkuva ja toteuttaa dynaamisen ohjelmoinnin periaatteen, joka kytkee sen optimaalisen säädön teoriaan. Sen jälkeen näytämme, että Hopfin ja Laxin kaavan antama funktio todella ratkaisee Hamiltonin ja Jacobin yhtälön alkuarvo-ongelman.

Tärkeä työkalu Hopfin ja Laxin kaavan käsittelyssä on Legendren muunnos, joka muuntaa funktion sen konveksiksi duaaliksi. Näytämme, että konvekseille ja tarpeeksi nopeasti kasvaville funktioille Legendren muunnos sovellettuna kahteen kertaan antaa alkuperäisen funktion takaisin. Tutkielmassa tutkitaan Hamiltonin ja Lagrangen funktioita, jotka täyttävät nämä ehdot.

Lopuksi määrittelemme, mitä tarkoitamme heikolla ratkaisulla Hamiltonin ja Jacobin yhtälön alkuarvo-ongelmaan. Määritelmässä käytämme semikonkaaveja funktioita. Osoitamme, että alkuehtojen semikonkaavius tai Hamiltonin funktion vahva konveksisuus takaavat heikkojen ratkaisuiden semikonkaaviuden, ja että semikonkaaveja ratkaisuja voi olla vain yksi, kunhan alkuarvo-ongelma täyttää sopivat säännöllisyysehdot.