Fourier-sarjojen suppeneminen

Abstract

Tässä tutkielmassa tutustutaan Fourier-sarjoihin ja niiden suppenemiseen. Tutkielman tarkoituksena on selvittää, mitkä funktioiden ominaisuudet takaavat niiden Fourier-sarjojen suppenemisen kohti alkuperäistä funktiota ja mitkä toisaalta eivät. Tarkastelun keskiössä ovat jatkuvat 2π-periodiset funktiot ja Fourier-sarjojen pisteittäinen suppeneminen.

Fourier-sarjat ovat äärettömiä trigonometrisiä sarjoja, jotka määritellään 2π-mittaisella välillä määritellyille Lebesgue-integroituville funktioille tai yhtäpitävästi niiden 2π-periodisille laajennuksille. Tutkielmassa käsiteltävät funktiot ovat kompleksiarvoisia, jolloin Fourier-sarjat ja -kertoimet määritellään kompleksisten eksponenttifunktioiden avulla.

Analyysille luontaiseen tapaan Fourier-sarjojen suppenemista tutkitaan niiden osasummien muodostamien funktiojonojen avulla. Tällöin esimerkiksi jatkuvan 2π-periodisen funktion Fourier-sarjan, joka suppenee itseisesti, osoitetaan suppenevan myös tasaisesti kohti alkuperäistä funktiota. Havaittaessa, että Fourier-sarjojen osasummat voidaan esittää tarkasteltavan funktion ja Dirichlet-ytimen konvoluutiona, avautuu uusi näkökulma suppenemisen tutkimiseen. Koska jatkuvien funktioiden konvoluutiot hyvien ytimien kanssa muodostavat tasaisesti suppenevan funktiojonon, herää toive jatkuvien funktioiden Fourier-sarjojen suppenemisesta. Valitettavasti Dirichlet-ytimet eivät muodosta hyvien ytimien joukkoa, jolloin suppenemisen tutkimista täytyy jatkaa. Dirichlet-ytimille ja hyville ytimille osoitettujen tulosten avulla saadaan kuitenkin todistettua derivoituvien ja Hölder-jatkuvien funktioiden Fourier-sarjojen suppenevan pisteittäin kohti tarkasteltuja funktioita.

Ratkaisua jatkuvien funktioiden Fourier-sarjojen suppenemiseen etsitään lopuksi funktionaalianalyysin perusteista. Tasaisen rajoituksen periaatteen avulla osoitetaan, että on olemassa jatkuva 2π-periodinen funktio, jonka Fourier-sarja hajaantuu origossa. Näin ollen funktion jatkuvuus ei ole riittävä ehto sen Fourier-sarjan pisteittäiselle suppenemiselle kaikkialla.