Origami geometristen konstruktioiden ja yhtälönratkaisun välineenä

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä lukijalle paperintaittelu tasogeometrian konstruktioiden työkaluna. Tutkielmassa esitellään ensin kaikki mahdolliset tavat taittaa paperi annettujen pisteiden ja suorien perusteella. Paperin taittamista tarkastellaan tason peilauksena jonkin suoran suhteen, ja mahdolliset taitokset määräytyvät sen mukaan, miten peilaus kuvaa annetut pisteet ja suorat. Mahdollisia taitoksia kutsutaan origamiaksioomiksi, vaikka ne eivät muodosta varsinaista aksioomajärjestelmää. Kaikkien origamiaksioomien olemassaolo tason antamassa mallissa todistetaan ja jotkin niistä johdetaan toisista origamiaksioomista. Näytetään, että yhden taitoksen origamiaksioomia ei ole enempää kuin tässä tutkielmassa esitellyt seitsemän.

Tämän jälkeen tarkastellaan, millaisia lukualueita eri origamiaksioomia käyttämällä saadaan aikaan kompleksitasossa. Käsitellään neljä lukualuetta, jotka muodostuvat lisäämällä edellisiin origamiaksioomiin jokin lisää. Suppein käsiteltävä joukko on Thaleen joukko, joka muodostuu origamiaksioomien O1 ja O2 pohjalta. Origamiaksiooman O1 mukaan kahden pisteen kautta voidaan tehdä taitos, ja origamiaksiooman O2 mukaan voidaan tehdä taitos, joka kuvaa annetun pisteen toiseksi annetuksi pisteeksi. Osoitetaan, että näillä origamiaksioomilla muodostuva Thaleen joukko on kunta.

Lisätään edellisiin origamiaksiooma O3, jonka mukaan suoran voi kuvata toiseksi suoraksi. Näin saadaan Pythagoraan kunta. Eukleideen kunta saadaan lisäämällä edellisiin origamiaksiooma O5, jonka mukaan voidaan taittaa piste suoralle taitoksella, joka kulkee toisen pisteen kautta.

Erityisen huomionarvoinen kunta on Vietan kunta. Se saadaan ottamalla käyttöön origamiaksiooma O6, jonka mukaan yhdellä taitoksella voidaan taittaa kaksi eri pistettä yhtäaikaisesti kahdelle eri suoralle. Origamiaksiooman O6 avulla voidaan konstruoida mielivaltaisen luvun kuutiojuuri ja jakaa mielivaltainen kulma kolmeen osaan. Näin Vietan kunta on suurempi kuin esimerkiksi harpin ja viivaimen avulla muodostettava. Origamiaksiooma O6 mahdollistaa kolmannen asteen yhtälön ratkaisemisen geometrisella menetelmällä.

Lopuksi tarkastellaan erityisesti kolmannen asteen yhtälön ratkaisemista taittelemalla. Esitellään Lill'n menetelmä, jolla ratkaistaan polynomiyhtälöitä geometrisesti. Menetelmässä piirretään yhtälöä kuvaava polku, joka muodostuu yhtälön kertoimien määräämistä janoista. Tämän jälkeen muodostetaan toinen janoista koostuva polku, joka noudattaa määrättyjä sääntöjä alkaen ja loppuen samoihin pisteisiin kuin ensimmäinen polku. Polkujen väliin muodostuu kulma $\theta$, jonka avulla saadaan yhtälön yksi juuri $x=-\tan\theta$.

Kun on käsitelty Lill'n menetelmä, selvitetään, miten sitä voi käytännössä hyödyntää origamitaittelussa kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Tämä on mahdollista origamiaksiooman O6 avulla ratkaisemalla Belochin neliöksi kutsuttu konstruointiongelma. Siinä taitellaan neliö, jonka kaksi vierekkäistä kulmaa ovat annetuilla suorilla ja kaksi sivua kulkee annettujen pisteiden kautta. Kun hyödynnetään tätä konstruktiota, voidaan löytää Lill'n metodissa tarvittava polku kolmannen asteen yhtälölle. Tällä tavalla taittelemalla löydetään kaikki kolmannen asteen yhtälön reaaliset juuret.