Suorien leikkauksista H1-äärellismittaisten tasojoukkojen kanssa

Abstract

Suoristuvat joukot käyttäytyvät usein arvattavalla tavalla. Esimerkiksi <i>m</i>-suoristuvan joukon (vaikkapa tasopolun osajoukon) projektiolle <i>m</i>-ulotteiselle avaruudelle on "melkein varmasti" positiivinen H^m -mitta, kunhan projisoituva joukko ei ole H^m-nollamittainen. Sen sijaan klassisen Besicovichin projektiolauseen mukaan täysin <i>m</i>-suoristumattomien joukkojen projektiot ovat melkein varmasti H^m-nollamittaisia. Tässä tutkielmassa keskitytään samankaltaiseen kysymykseen. Ei ole nimittäin hankala näyttää, ettei H¹-äärellismittainen suoristuva tasojoukko leikkaa suoria kovinkaan monessa pisteessä. Tietysti leikkaus voi joskus olla ylinumeroituvakin, joten oikea muotoilu vaatii hieman väljyyttä. Siispä väite on mieluummin, että leikkaus on äärellinen "tietyssä mielessä" melkein kaikille suorille. Kun tämä on selvää, niin on luonnollista kysyä, kuinka täysin suoristumattomille joukoille käy. Tämä on osoittautunut hankalaksi kysymykseksi, eikä siihen ole vielä löytynyt vastausta. Sen sijaan tässä tutkielmassa osoitetaan, ettei H¹-äärellismittaisuus pelkästään takaa, että melkein kaikki suorien leikkaukset joukon kanssa olisivat äärellisiä.