On the Boundaries of Sobolev Extension Domains

Abstract

The main subject of this dissertation is Sobolev extension domains, specially with focus on their boundaries. A fundamental question is to find necessary and sufficient conditions for classifying domains on which each function may be extended to the whole space while preserving inclusion to a given function space. On Euclidean plane, in particular in the simply connected case, characterizations are known for all values of the integralibity of Sobolev functions. In the present work we establish dimension estimates for the boundary and for special subsets of the boundary. On the plane our approach is based on the known characterizations. In higher dimensions the results are proven directly in terms of the operator norm of the extension operator. We also establish a necessary condition for extendability in higher dimensions. The dissertation consists of four articles. In article [A] we study the size of the boundary of bounded planar simply connected Sobolev extension domains. We show that the boundary is weakly mean porous and establish an upper-bound for the Hausdorff dimension of the boundary. We provide examples showing the sharpness of the result. In articles [B] and [C] we study the size of the set of two-sided points of Sobolev and BV extension domains. In the simple case, two-sided points are the set of points of where the boundary of the domain intersects itself. In article [B] we establish an upper-bound for the Hausdorff dimension of the set of two-sided points in the case that the domain is bounded simply connected planar extension domain. We provide examples showing the sharpness of the result, and prove equivalence of different definitions of two-sided points. In article [C] we extend the result of [B] for arbitrary Sobolev and BV extension domains in terms of the operator norm of the extension operator. We construct examples that show the sharpness of some of the results and give lower-bounds for others. In article [D], we give a necessary condition for a domain to have a bounded extension operator between homogeneous Sobolev spaces for 1 < p < 2 in higher dimensions. We establish a quantitative version of the necessity direction of an earlier characterization in terms of the operator norm, and construct a topologically simple extension domain having a boundary with large Hausdorff dimension.

Tämän väitöksen pääaiheena on Sobolev-laajennusalueet, erityisesti niiden reunojen ominaisuudet. Perustavanlaatuinen kysymys on löytää riittäviä ja välttämättömiä ehtoja, jotka luokittelevat alueet, joissa jokainen funktio voidaan jatkaa koko avaruudelle, siten että se kuuluu edelleen samaan funktioavaruuteen. Euklidisessa tasosossa, erityisesti yhdesti yhteinäisen alueen tapauksessa, tunnemme karakterisaatioita kaikille Sobolev-funktioiden integroituvuuden arvoille. Tässä työssä annamme ylärajoja laajennusalueiden reunan sekä erityisten reunan osajoukojen dimensioille. Tasossa sovellamme tunnettuja karakterisaatioita. Korkeammissa ulottuvuuksissa tulokset ovat muotoiltu laajennusoperaattorin normin avulla. Todistamme myös uuden välttämättömän ehdon laajennettavuudelle korkeamassa ulottuvuudessa. Väitöskirja koostuu neljästä artikkelista. Artikkelissa [A] tutkimme tason yhdesti yhtenäisen rajoitetun laajennusalueen reunan kokoa. Osoitamme, että reuna on heikosti keskiarvohuokoinen sekä annamme ylärajan reunan Hausdorff-dimensiolle. Artikkeleissa [B] ja [C] tarkastelemme laajennusalueen kaksipuolisten pisteiden joukon kokoa. Yksinkertaisessa tapauksessa kaksipuoliset pisteet muodostuvat reunapisteistä, joissa laajennusalueen reuna leikkaa itseään. Artikkelissa [B] annamme ylärajan kaksipuoleisten pisteiden joukon Hausdorff-dimensiolle tapauksessa, jossa tason alue on rajoitettu ja yhdesti yhtenäinen. Esitämme esimerkkejä jotka näyttävät, että tulos on paras mahdollinen, sekä todistamme erilaisten kaksipuolisten pisteiden määritelmien yhtäpitävyyden. Artikkelissa [C] laajennamme artikkelin [B] tuloksen koskemaan yleisiä Sobolev- ja BV-laajennusalueita laajennusoperaattorin normin avulla muotoiltuna. Esitämme esimerkkejä, jotka näyttävät, että osa tuloksista on tarkkoja toisten antaessa alarajat parhaille mahdollisille tuloksille. Artikkelissa [D] annamme uuden välttämättömän ehdon lajennusoperaattorin olemassaololle korkeammissa ulottuvuuksissa integroituvuuden ollessa 1 ja 2 välillä. Todistamme kvantitatiivisen version aiemman karakterisaation välttämättömyys suunnasta operaattorinormin avulla lausuttuna. Annamme myös esimerkin topologisesti yksinkertaisesta laajennusalueesta, jonka reunan dimensio on suuri.