Äärellisesti viritettyjen ryhmien kasvunopeus, hyperbolisuus ja päätyjen lukumäärä

Abstract

Tämän tutkielman tavoitteena on tutkia ryhmiä geometrian avulla. Tähän tarkoitukseen esitellään ryhmän Cayleyn kaavio, joka on jonkin ryhmän virittäjäjoukon pohjalta muodostettu graafi. Cayleyn kaaviosta saadaan luonnollisella tavalla muodostettua geodeesinen metrinen avaruus, jonka pohjalta voidaan tehdä päätelmiä myös alkuperäisestä ryhmästä. Vaikka Cayleyn kaavio on riippuvainen valitusta virittäjäjoukosta, osoittautuu että jotkin Cayleyn kaavion geometriset piirteet säilyvät kaikilla äärellisillä virittäjäjoukoilla. Tämän formalisoimista varten määritellään kvasi-isometriat, jotka ovat metristen avaruuksien välisiä kuvauksia, jotka tietyssä mielessä pysyvät lähellä isometrioita. Tutkielmassa tarkastellaan ryhmiä kolmen eri geometrisen piirteen kautta. Nämä ovat hyperbolisuus, ryhmän päätyjen lukumäärä ja ryhmän kasvunopeus. Näiden avulla tutkielmassa karakterisoidaan ryhmät, joilla on äärettömän syklisen ryhmän kanssa isomorfinen äärellisen indeksin aliryhmä. Lisäksi osoitetaan, että hyperbolisuuden tai päätyjen lukumäärän avulla voidaan päätellä, että ryhmällä on toisen asteen vapaan ryhmän kanssa isomorfinen aliryhmä. Tutkielman lopussa käydään vielä läpi joitain esimerkkejä, jotka havainnollistavat missä määrin hyperbolisuus, päätyjen lukumäärä ja kasvunopeus liittyvät toisiinsa.