Buffonin neulat ja nuudelit

Abstract

Tässä tutkielmassa esitetään Buffonin neulaongelmalle kolme toisistaan hieman poikkeavaa todistusta ja käydään läpi, kuinka piitä voidaan arvioida tämän avulla. Tutkielmassa todistetaan myös kaksi Buffonin neulaongelman laajennusta ja tutustutaan Buffonin neulaongelmaan mittateoriassa. Lisäksi pohditaan kuinka Buffonin neulaongelman voi esitellä lukion eri moduuleilla, ja esitellään GeoGebra-appletti, jonka avulla neulaongelmaa voi simuloida. Yksinkertaisuudessaan Buffonin neula tarkoittaa uhkapeliä, jossa pelaaja heittää neulan lattialle, joka sisältää yhdensuuntaisia suoria ja panostuksen kohteena on, osuuko neula suoraan. Tutkielman tavoitteena on laskea tarkka todennäköisyys tapahtumalle P(neula leikkaa suoran). Tarkka todennäköisyys voidaan näyttää puhtaasti stokastisin menetelmin, geometriaa hyväksikäyttäen sekä odotusarvon lineaarisuuden avulla. Ongelman laajennuksissa neulaa ei tiputeta lattialle, vaan laitetaan pallon sisään ja pallo tiputetaan lattialle. Tällöin todennäköisyys, että neula ylittää suoran muuttuu hieman ja yllättävästi todennäköisyydessä ei enää esiinny lukua 𝜋. Mittateoriassa Buffonin neula nousee esiin, kun tutkitaan Cantorin itsesimilaarisen joukon Favardin mittaa. Tällöin neulana toimii suora, johon joukko projisoidaan. Tutkielmassa käydään myös läpi, kuinka Buffonin neulaongelma voidaan pilkkoa pienempiin palasiin siten, että sitä on mahdollista kuljettaa mukana usealla lukion pitkän matematiikan moduulilla. Tällä tavoin opettaja pystyy motivoimaan opiskelijoita palaamalla jo aikaisemmilta kursseilta tuttuun aiheeseen, joka todennäköisesti uhkapelinä herättää myös opiskelijoiden mielenkiinnon.