University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Brachistochrone-ongelma

Thumbnail
View/Open
505.7 Kb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Okkolin, Pauliina
Date
2021
Discipline
Matematiikan opettajankoulutusTeacher education programme in Mathematics
Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

 
Tämä tutkielma käsittelee Brachistochrone-ongelmana tunnettavaa minimointiongelmaa. Ongelmassa on ideana löytää kahden tason pisteen A ja B välinen käyrä, joka minimoi ajan, joka massalliselta kappaleelta kuluu liukua pisteestä A pisteeseen B. Ongelma ratkaistaan tässä työssä variaatiolaskentaa hyödyntäen ja siten työ esittelee Brachistochrone-ongelman lisäksi myös tiettyjä variaatiolaskennan perusideoita. Variaatiolaskenta on matemaattisen analyysin ala, joka tarjoaa keinoja ääriarvotehtävien ratkaisemiseen, kun minimoitavat kuvaukset ovat funktioavaruuksista reaaliluvuille määriteltyjä funktionaaleja. Tutkielmassa esitellään aluksi, kuinka sanallisesti muotoiltu ongelma saadaan johdettua matemaattiseen muotoon. Sen jälkeen perehdytään ongelman varsinaiseen ratkaisemiseen. Nykyään yleisesti tunnetaan, että Brachistochrone-ongelman ratkaiseva käyrä on sykloidi. Työssä näytetään, kuinka sykloidi variaatiolaskennan avulla lähtökohtaisesti löydetään. Keskeisin työkalu on variaatiolaskennan oleellisimpiin välineisiin kuuluva Euler-Lagrangen differentiaaliyhtälö. Työssä osoitetaan, että Brachistochrone-ongelman ratkaisun on välttämättä toteutettava Euler-Lagrangen yhtälö. Lisäksi näytetään, että jos Brachistochrone-ongelmalla on ratkaisu, se toteuttaa myös Beltrami-yhtälöksi kutsuttavan differentiaaliyhtälön. Beltrami-yhtälö ratkaisemalla saadaan näytettyä, että ongelman mahdollinen ratkaisu on sykloidi. Työn viimeinen vaihe on todistaa Brachistochrone-ongelman ratkaisun olemassaolo ja siten näyttää, että sykloidi todella ratkaisee ongelman. Olemassaolo todistetaan erään riittävän ehdon avulla, joka kertoo, milloin Euler-Lagrangen yhtälön toteuttava funktio on variaatio-ongelman ratkaisu. Työssä esiteltävä riittävä ehto hyödyntää funktioiden konveksisuutta. Riittävä ehto ei ole suoraan sovellettavissa Brachistochrone-ongelmaan, joten työssä päädytään vielä tarkastelemaan toista minimointiongelmaa, joka ratkaisemalla myös Brachistochrone-ongelma saadaan ratkaistua. ...
Keywords
minimointiongelmat brakistokroni Euler-Lagrangen yhtälö variaatiolaskenta matemaattinen analyysi
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-202108174539

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [25559]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Minimointiongelmien ratkaiseminen variaatiolaskentaa käyttäen 

    Partanen, Veera (2018)
    Tutkitaan esimerkkejä käyttäen, kuinka variaatiolaskennan avulla voidaan ratkaista minimointiongelmia. Esimerkkeinä ovat brakistokroniongelma, valon nopein reitti, päistään ripustettu naru ja saippakalvon yhtälö. Keskeisenä ...
  • Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma 

    Nurminen, Janne (2020)
    Tässä tutkielmassa esitellään sähköisen impedanssitomografian matemaattista mallia sekä johtavuusyhtälöön liittyvää inversio-ongelmaa. Tutkielman päätuloksena osoitetaan, että kappaleen reunalla tehtävien mittauksien avulla ...
  • A two-phase problem with Robin conditions on the free boundary 

    Guarino Lo Bianco, Serena; La Manna, Domenico Angelo; Velichkov, Bozhidar (Les Éditions de l'École polytechnique, 2021)
    We study for the first time a two-phase free boundary problem in which the solution satisfies a Robin boundary condition. We consider the case in which the solution is continuous across the free boundary and we prove an ...
  • Local minimizers and gamma-convergence for nonlocal perimeters in Carnot groups 

    Carbotti, Alessandro; Don, Sebastiano; Pallara, Diego; Pinamonti, Andrea (EDP Sciences, 2021)
    We prove the local minimality of halfspaces in Carnot groups for a class of nonlocal functionals usually addressed as nonlocal perimeters. Moreover, in a class of Carnot groups in which the De Giorgi’s rectifiability theorem ...
  • A quantitative reverse Faber-Krahn inequality for the first Robin eigenvalue with negative boundary parameter 

    Cito, Simone; La Manna, Domenico Angelo (EDP Sciences, 2021)
    The aim of this paper is to prove a quantitative form of a reverse Faber-Krahn type inequality for the first Robin Laplacian eigenvalue λβ with negative boundary parameter among convex sets of prescribed perimeter. In that ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre