Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma
Tekijät
Päivämäärä
2020Tekijänoikeudet
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Tässä tutkielmassa esitellään sähköisen impedanssitomografian matemaattista mallia sekä johtavuusyhtälöön liittyvää inversio-ongelmaa. Tutkielman päätuloksena osoitetaan, että kappaleen reunalla tehtävien mittauksien avulla voidaan määrittää kappaleen sisällä oleva johtavuus. Sähköinen impedanssitomografia on siis kuvantamismenetelmä, jonka avulla jonkin kappaleen pinnalla tehtävistä sähköisistä mittauksista pyritään selvittämään kappaleen sisäistä rakennetta.
Kyseisen inversio-ongelman muotoilemiseen tarvitaan esitiedoiksi teoriaa Sobolev-avaruuksista sekä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden heikoista ratkaisuista. Heikkojen ratkaisujen teoria pohjautuu nimenomaan Sobolev-avaruuksien teoriaan. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden heikkojen ratkaisujen teorian avulla voidaan antaa määritelmä niin sanotulle Dirichlet-to-Neumann -kuvaukselle, jonka voidaan ajatella sisältävän tiedot kappaleen reunalla tehtävistä mittauksista.
Kun tiedetään, mitä Dirichlet-to-Neumann -kuvaukset ovat, voidaan muotoilla sähköiseen kuvantamismenetelmään liittyvä inversio-ongelma johtavuusyhtälön tapauksessa: Olkoon \gamma positiivinen oleellisesti rajoitettu funktio avaruuden \R^n avoimessa ja rajoitetussa joukossa. Määritä Dirichlet-to-Neumann -kuvauksesta johtavuus kyseisessä joukossa.
Tutkielman päätulos liittyy tähän inversio-ongelmaan, jossa osoitetaan, että reunalla tehtävät sähköiset mittaukset, eli Dirichlet-to-Neumann -kuvaus, määräävät tuntemattoman johtavuuden arvon reunalla.
Tämän lisäksi tutkielmassa esitellään hieman Schrödingerin yhtälöä. Schrödingerin yhtälölle muotoillaan siihen liittyvä inversio-ongelma ja vastaava Dirichlet-to-Neumann -kuvaus. Lisäksi todistetaan samankaltainen tulos kuin johtavuusyhtälölle, eli reunalla tehtävät mittaukset määräävät tuntemattoman potentiaalin arvon reunalla.
...


Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [23424]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Inverse problems for a fractional conductivity equation
Covi, Giovanni (Pergamon Press, 2020)This paper shows global uniqueness in two inverse problems for a fractional conductivity equation: an unknown conductivity in a bounded domain is uniquely determined by measurements of solutions taken in arbitrary open, ... -
Quantitative approximation properties for the fractional heat equation
Rüland, Angkana; Salo, Mikko (American Institute of Mathematical Sciences, 2020)In this article we analyse quantitative approximation properties of a certain class of nonlocal equations: Viewing the fractional heat equation as a model problem, which involves both local and nonlocal pseudodifferential ... -
Inverse problems for elliptic equations with power type nonlinearities
Lassas, Matti; Liimatainen, Tony; Lin, Yi-Hsuan; Salo, Mikko (Elsevier, 2021)We introduce a method for solving Calderón type inverse problems for semilinear equations with power type nonlinearities. The method is based on higher order linearizations, and it allows one to solve inverse problems for ... -
The Calderón problem for the fractional Schrödinger equation
Ghosh, Tuhin; Salo, Mikko; Uhlmann, Gunther (Mathematical Sciences Publishers, 2020)We show global uniqueness in an inverse problem for the fractional Schrödinger equation: an unknown potential in a bounded domain is uniquely determined by exterior measurements of solutions. We also show global uniqueness ... -
The Poisson embedding approach to the Calderón problem
Lassas, Matti; Liimatainen, Tony; Salo, Mikko (Springer, 2020)We introduce a new approach to the anisotropic Calderón problem, based on a map called Poisson embedding that identifies the points of a Riemannian manifold with distributions on its boundary. We give a new uniqueness ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.