Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma
Tekijät
Päivämäärä
2020Tekijänoikeudet
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Tässä tutkielmassa esitellään sähköisen impedanssitomografian matemaattista mallia sekä johtavuusyhtälöön liittyvää inversio-ongelmaa. Tutkielman päätuloksena osoitetaan, että kappaleen reunalla tehtävien mittauksien avulla voidaan määrittää kappaleen sisällä oleva johtavuus. Sähköinen impedanssitomografia on siis kuvantamismenetelmä, jonka avulla jonkin kappaleen pinnalla tehtävistä sähköisistä mittauksista pyritään selvittämään kappaleen sisäistä rakennetta.
Kyseisen inversio-ongelman muotoilemiseen tarvitaan esitiedoiksi teoriaa Sobolev-avaruuksista sekä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden heikoista ratkaisuista. Heikkojen ratkaisujen teoria pohjautuu nimenomaan Sobolev-avaruuksien teoriaan. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden heikkojen ratkaisujen teorian avulla voidaan antaa määritelmä niin sanotulle Dirichlet-to-Neumann -kuvaukselle, jonka voidaan ajatella sisältävän tiedot kappaleen reunalla tehtävistä mittauksista.
Kun tiedetään, mitä Dirichlet-to-Neumann -kuvaukset ovat, voidaan muotoilla sähköiseen kuvantamismenetelmään liittyvä inversio-ongelma johtavuusyhtälön tapauksessa: Olkoon \gamma positiivinen oleellisesti rajoitettu funktio avaruuden \R^n avoimessa ja rajoitetussa joukossa. Määritä Dirichlet-to-Neumann -kuvauksesta johtavuus kyseisessä joukossa.
Tutkielman päätulos liittyy tähän inversio-ongelmaan, jossa osoitetaan, että reunalla tehtävät sähköiset mittaukset, eli Dirichlet-to-Neumann -kuvaus, määräävät tuntemattoman johtavuuden arvon reunalla.
Tämän lisäksi tutkielmassa esitellään hieman Schrödingerin yhtälöä. Schrödingerin yhtälölle muotoillaan siihen liittyvä inversio-ongelma ja vastaava Dirichlet-to-Neumann -kuvaus. Lisäksi todistetaan samankaltainen tulos kuin johtavuusyhtälölle, eli reunalla tehtävät mittaukset määräävät tuntemattoman potentiaalin arvon reunalla.
...
![showless](/themes/JYX2//images/showless.png)
![showmore](/themes/JYX2//images/showmore.png)
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [28907]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
The Linearized Calderón Problem on Complex Manifolds
Guillarmou, Colin; Salo, Mikko; Tzou, Leo (Springer, 2019)In this note we show that on any compact subdomain of a K¨ahler manifold that admits sufficiently many global holomorphic functions, the products of harmonic functions form a complete set. This gives a positive answer to ... -
The higher order fractional Calderón problem for linear local operators : Uniqueness
Covi, Giovanni; Mönkkönen, Keijo; Railo, Jesse; Uhlmann, Gunther (Elsevier, 2022)We study an inverse problem for the fractional Schrödinger equation (FSE) with a local perturbation by a linear partial differential operator (PDO) of order smaller than the one of the fractional Laplacian. We show that ... -
The Poisson embedding approach to the Calderón problem
Lassas, Matti; Liimatainen, Tony; Salo, Mikko (Springer, 2020)We introduce a new approach to the anisotropic Calderón problem, based on a map called Poisson embedding that identifies the points of a Riemannian manifold with distributions on its boundary. We give a new uniqueness ... -
Inverse problems for a fractional conductivity equation
Covi, Giovanni (Pergamon Press, 2020)This paper shows global uniqueness in two inverse problems for a fractional conductivity equation: an unknown conductivity in a bounded domain is uniquely determined by measurements of solutions taken in arbitrary open, ... -
On some partial data Calderón type problems with mixed boundary conditions
Covi, Giovanni; Rüland, Angkana (Elsevier, 2021)In this article we consider the simultaneous recovery of bulk and boundary potentials in (degenerate) elliptic equations modelling (degenerate) conducting media with inaccessible boundaries. This connects local and nonlocal ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.