Matriisin singulaariarvohajotelma

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä ja todistaa matriisin singulaariarvohajotelma, jonka mukaan jokainen m x n matriisi A voidaan esittää muodosssa A=USV^T, missä matriisit U ja V ovat ortogonaalisia ja S on diagonaalimatriisi. Tuloksen muotoa voidaan verrata matriisin diagonalisoituvuuteen. Diagonalisoituvuudesta puhuttaessa matriisin täytyy kuitenkin olla neliömatriisi ja lisäksi kaikki neliömatriisit eivät ole diagonalisoituvia. Singulaariarvohajotelma on olemassa kaikille m x n matriiseille. Tutkielmassa tarvittavia tuloksia esitellään tutkielman alussa lineaarialgebran ja matriisiteorian kannalta merkittävien neljän aliavaruuden avulla. Lisäksi tutustutaan näiden aliavaruuksien rooliin matriisin A toiminnassa. Singulaariarvohajotelmaan liittyy olennaisena osana matriisin A singulaariarvot, jotka ovat matriisin A^TA ominaisarvojen neliöjuuret. Ennen singulaariarvohajotelman esittelyä tutkielmassa tutustutaankin matriisin A^TA ominaisuuksiin, joita tarvitaan myöhemmin singulaariarvohajotelman todistuksessa. Tarkoituksena on myös esitellä matriisin singulaariarvohajotelman sovelluksia. Ensimmäisenä sovelluksena on matriisin pseudoinverssi, jota voidaan pitää käänteismatriisin yleistyksenä. Pseudoinverssin avulla voidaan ratkaista lineaarisia yhtälöryhmiä, jotka ovat muotoa Ax=b. Tällä yhtälöryhmällä ei kuitenkaan aina ole ratkaisua. Tällöin voidaan kuitenkin etsiä vektoria x’, joka minimoi lausekkeen ||b-Ax’||^2. Tätä vektoria x’ kutsutaan pienimmän neliösumman ratkaisuksi. Osoittautuu, että pseudoinverssin avulla löydetään myös pienimmän neliösumman ratkaisu. Singulaariarvohajotelman sovelluksena on myös matriisin approksimointi alemman asteen matriisilla. Tarkoituksena on esitellä tulos, jonka mukaan matriisin singulaariarvohajotelman avulla matriisille saadaan paras alemman asteen approksimaatio Frobenius normin suhteen. Tutkielman lopuksi sovelletaan matriisin alemman asteen approksimaatiota valokuvan häviöllisessä pakkaamisessa.