University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Väitöskirjat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Väitöskirjat > View Item

Uniqueness results for fractional Calderón problems

Thumbnail
View/Open
2.8 Mb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Published in
JYU dissertations
Authors
Covi, Giovanni
Date
2020

 
This dissertation studies the inverse problem for a specific partial differential equation, the so called fractional Calderón problem or inverse problem for the fractional Schrödinger equation. The dissertation focuses mainly on uniqueness results for inverse problems involving the Dirichlet to Neumann map, the object encoding exterior measurements in the model. The included articles show how this information suffices to determine the parameters involved in the problems considered. The first article considers a fractional version of the inverse problem for the conductivity equation, showing that the unknown conductivity can be recovered from the DN map even in the case of a single measurement. The technique employed is the fractional Liouville reduction, which allows one to state the problem in terms of the fractional Schrödinger equation. The second article extends the known result for the fractional Schrödinger equation to the magnetic case, showing how a nonlocal perturbation and a potential can be both recovered up to a natural gauge. This resembles the results known for the local case. The third article explores the fractional Schrödinger equation in a high order regime, proving the injectivity of the relative DN map in both the perturbed and unperturbed cases. This requires a high order Poincaré inequality, which has been studied in the same paper. The fifth article follows the third one, extending the study to general local high-order perturbations: the coefficients of any local lower order operator are shown to be recoverable from the DN map. The fourth article studies the perturbed fractional Calderón problem by means of the Caffarelli-Silvestre extension, transforming it into a local problem with mixed Robin boundary conditions, eventually showing that the bulk and boundary potentials can be recovered simultaneously. This requires some technical Carleman estimates and the construction of a new class of CGO solutions. The introduction of the dissertation contains a survey of the literature related to both the classical and fractional Calderón problems, as well as a collection of the definitions of the function spaces appearing in the articles. The appendix is an informal introduction to key concepts in inverse problems and EIT, thought for the use of the general public. ...
 
Tämän väitöskirjan tarkoitus on syventää ymmärrystä tietystä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden inversio-ongelmasta, niin sanotusta fraktionaalisesta Calderónin ongelmasta tai fraktionaalisen Schrödingerin yhtälön inversio-ongelmasta. Väitöskirja keskittyy pääasiassa mallin ulkomittauksia karakterisoivan objektin eli Dirichlet-to-Neumann -kuvauksen (DN-kuvauksen) injektiivisyyteen. Väitöskirjaan sisältyvät artikkelit osoittavat, kuinka DN-kuvaus riittää määräämään ongelman tuntemattomat aineparametrit. Ensimmäisessä artikkelissa tarkastellaan johtavuusyhtälöä koskevan inversio-ongelman fraktionaalista versiota ja osoitetaan, että tuntematon johtavuus voidaan määrittää DNkuvauksesta jopa yhden mittauksen tapauksessa. Käytetty tekniikka on fraktionaalinen Liouvillen reduktio, jonka avulla ongelman voi lausua fraktionaalisen Schrödingerin yhtälön muodossa. Toinen artikkeli laajentaa fraktionaalisen Schrödingerin yhtälön tunnetun tuloksen magneettiseen tapaukseen osoittaen, kuinka epälokaali perturbaatio ja potentiaali voidaan molemmat määrittää luonnollista epäyksikäsitteisyyttä lukuunottamatta. Tämä muistuttaa lokaalin tapauksen tunnettuja tuloksia. Kolmannessa artikkelissa tutkitaan korkean kertaluvun fraktionaalista Schrödingerin yhtälöä ja osoitetaan DN-kuvauksen injektiivisyys sekä perturboidussa että ei-perturboidussa tilanteessa. Tähän tarvitaan korkean kertaluvun Poincarén epäyhtälöä, jota on tutkittu samassa artikkelissa. Viides artikkeli on jatkoa kolmannelle laajentaen tarkastelun yleisille lokaaleille korkean asteen perturbaatioille: minkä tahansa lokaalin alemman asteen operaattorin kertoimien osoitetaan olevan määritettävissä DN-kuvauksesta. Neljännessä artikkelissa tutkitaan perturboitua fraktionaalista Calderónin ongelmaa Caffarellin-Silvestren laajennuksen avulla muuttamalla se lokaaliksi ongelmaksi, jolla on sekoitetut Robin-reunaehdot. Lopulta osoitetaan, että sisä- ja reunapotentiaalit voidaan määrittää samanaikaisesti. Tämä vaatii joitain teknisiä Carlemanin estimaatteja ja CGO-ratkaisujen uuden luokan rakentamista. Väitöskirjan johdanto sisältää kirjallisuuskatsauksen sekä klassisesta että fraktionaalisesta Calderónin ongelmasta ja kokoelman artikkeleissa esiintyvien funktioavaruuksien määritelmistä. Liite on epävirallinen suurelle yleisölle tarkoitettu johdanto inversioongelmien ja sähköimpedanssitomografian (EIT) avainkäsitteisiin. ...
 
ISBN
978-951-39-8391-8
Contains publications
  • Artikkeli I: Covi, G. (2020). Inverse problems for a fractional conductivity equation. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 193, 111418. DOI: 10.1016/j.na.2019.01.008
  • Artikkeli II: Covi, Giovanni (2020). An inverse problem for the fractional Schrödinger equation in a magnetic field. Inverse Problems, 36 (4), 045004. DOI: 10.1088/1361-6420/ab661a
  • Artikkeli III: Covi, Giovanni; Mönkkönen, Keijo and Railo, Jesse (2020) Unique continuation property and Poincaré inequality for higher order fractional Laplacians with applications in inverse problems. Preprint arXiv: 2001.06210v2
  • Artikkeli IV: Covi, Giovanni and Rüland, Angkana (2020) On some partial data Calderón type problems with mixed boundary conditions. Preprint. arXiv: 2006.03252v2
  • Artikkeli V: Covi, Giovanni; Mönkkönen, Keijo; Railo, Jesse and Uhlmann, Gunther (2020) The higher order fractional Calderón problem for linear local operators: uniqueness. Preprint. arXiv: 2008.10227
Keywords
osittaisdifferentiaaliyhtälöt inversio-ongelmat
URI

http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-39-8391-8

Metadata
Show full item record
Collections
  • Väitöskirjat [3178]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • The Calderón problem for the fractional Schrödinger equation 

    Ghosh, Tuhin; Salo, Mikko; Uhlmann, Gunther (Mathematical Sciences Publishers, 2020)
    We show global uniqueness in an inverse problem for the fractional Schrödinger equation: an unknown potential in a bounded domain is uniquely determined by exterior measurements of solutions. We also show global uniqueness ...
  • The higher order fractional Calderón problem for linear local operators : Uniqueness 

    Covi, Giovanni; Mönkkönen, Keijo; Railo, Jesse; Uhlmann, Gunther (Elsevier, 2022)
    We study an inverse problem for the fractional Schrödinger equation (FSE) with a local perturbation by a linear partial differential operator (PDO) of order smaller than the one of the fractional Laplacian. We show that ...
  • The Calderón Problem for the Fractional Wave Equation : Uniqueness and Optimal Stability 

    Kow, Pu-Zhao; Lin, Yi-Hsuan; Wang, Jenn-Nan (Society for Industrial & Applied Mathematics (SIAM), 2022)
    We study an inverse problem for the fractional wave equation with a potential by the measurement taking on arbitrary subsets of the exterior in the space-time domain. We are interested in the issues of uniqueness and ...
  • Inverse problems for elliptic equations with fractional power type nonlinearities 

    Liimatainen, Tony; Lin, Yi-Hsuan; Salo, Mikko; Tyni, Teemu (Elsevier, 2022)
    We study inverse problems for semilinear elliptic equations with fractional power type nonlinearities. Our arguments are based on the higher order linearization method, which helps us to solve inverse problems for certain ...
  • Inverse problems for a fractional conductivity equation 

    Covi, Giovanni (Pergamon Press, 2020)
    This paper shows global uniqueness in two inverse problems for a fractional conductivity equation: an unknown conductivity in a bounded domain is uniquely determined by measurements of solutions taken in arbitrary open, ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre