Konvekseja joukkoja ja suoran leikkauksia tasossa

Abstract

Tässä matematiikan sivuainetutkielmassa tarkastellaan rajoitettuja konvekseja joukkoja tasossa sekä suoran leikkauspituuksia annettujen joukkojen kanssa. Tutkielmassa esitetään injektiivinen suoran esitys tason kaikille suorille kierto ja siirto parametrin avulla. Tämän esityksen avulla tarkastellaan ortogonaaliprojektioita ja näiden mitallisuutta. Erityisesti tasossa tarkastelun kohteena on rajoitetun konveksin joukon reuna. Tutkielmassa osoitetaan, että rajoitetun konveksin joukon reuna on umpinainen Jordan käyrä, jos konveksin joukon sisäjoukko on epätyhjä. Tämä todistetaan konveksien joukkojen ominaisuuksien ja puolisuorien avulla, jonka seurauksena saadaan että rajoitetut konveksit joukot ovat Lebesgue-mitallisia. Tutkielman päälauseena on osoittaa, että parametrien joukolla, jolla mainitun injektiivisen suoran esityksen suorat leikkaavat annettua rajoitettua konveksia joukkoa on sellainen Lebesguen mitta, joka vastaa kertoimella 1 tai 1/2 kyseisen konveksin joukon reunan 1-Hausdorffin mittaa. Tulos voidaan yleistää kahteen tapaukseen, joista toisessa konveksin joukon sisäjoukko on tyhjä ja toisessa epätyhjä. Epätyhjä tapaus on kiinnostavampi sillä tällöin pätee yhtäsuuruus kertoimella 1. Tyhjässä tapauksessa konveksi joukko vastaa janaa tai tyhjää joukkoa, jolloin saadaan yhtäsuuruus kertoimella 1/2. Tyhjän joukon tapaus osoitetaan janan ominaisuuksien avulla. Epätyhjää tapausta varten hyödynnetään niin tuloksia mittateoriasta kuin konveksianalyysistä ja suoristuvista poluista. Lisäksi osoitetaan, että tasossa saadaan Lebesgue ja Borel-mitallisia suoran leikkauspituusfunktioita tutkielmassa esitettyjen suoran esitysten avulla. Nämä osoitetaan Fubinin Lauseen ja muuttujanvaihdon avulla.