Vakioleveät joukot

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutkia vakioleveitä joukkoja ja niihin liittyviä tuloksia. Vakioleveät joukot ovat joukkoja, joiden leveys jokaiseen suuntaan on yhtä suuri. Tasossa tämä tarkoittaa sitä, että rajattaessa joukko kahden yhdensuuntaisen suoran väliin siten, että suorat juuri koskettavat joukkoa, suorien etäisyys on vakio riippumatta siitä, missä kohtaa suorat sivuavat joukkoa. Yksinkertaisin esimerkki vakioleveästä joukosta on kiekko, mutta joukkoja on muitakin. Eräs tunnetuimmista vakioleveistä joukoista on Franz Reuleaux’lta nimensä saanut Reuleaux’n kolmio, joka muodostetaan tasasivuisesta kolmiosta yhdistämällä viereiset kolmion kärjet ympyrän kaarella. Työssä lähdetään liikkeelle konveksin joukon määritelmästä sekä tutustutaan konveksien joukkojen geometriaan yleisessä avaruudessa. Lisäksi tutustutaan hypertason ja tukitason määritelmiin ja todistetaan, että kompaktin ja konveksin joukon jokaisessa reunapisteessä on olemassa tukitaso. Seuraavaksi siirrytään joukon leveyden määrittelyyn, mistä päästään luontevasti tutkimaan vakioleveitä joukkoja. Tämän jälkeen rajoitutaan tasoon, sillä vaikka vakioleveitä joukkoja on tutkittu melko paljon, niistä tiedetään suhteellisen vähän R2:sta korkeammissa ulottuvuuksissa. Työn päätuloksena todistetaan Barbierin lause, jonka mukaan vakioleveiden joukkojen piiri lasketaan kertomalla joukon halkaisija piillä, kuten lasketaan myös ympyrän piirin pituus. Lisäksi todistetaan, että edellä mainittu Reuleaux’n kolmio on vakioleveä ja annetaan muita esimerkkejä tason vakioleveistä joukoista. Kaksiulotteisten vakioleveiden joukkojen pinta-aloille voidaan myös antaa rajat. Annetun levyisistä vakioleveistä joukoista suurin pinta-ala on kiekolla ja pienin pinta-ala on Reuleaux’n kolmiolla. Lopuksi esitellään hieman kolmiulotteisten vakioleveiden joukkojen eli kappaleiden muodostamistapoja sekä esimerkkejä niistä. Vakioleveillä joukoilla on myös monia sovelluskohteita. Niitä on käytetty vanhanaikaisissa filmiprojektoreissa filmin liikuttamiseen, Wankelin moottorissa kiertomäntänä sekä poranterissä. Mielenkiintoisin näistä on poranterä, sillä vakioleveisiin joukkoihin pohjautuvilla terillä on mahdollista porata neliön mallisia reikiä. Vakioleveitä joukkoja voi löytää myös Iso-Britannian kolikoista, joista 20 ja 50 pennyn kolikot ovat muodoltaan vakioleveitä.