Scale function approach to exit problems of refracted Lévy risk processes

Abstract

Tässä opinnäytetyössä käsitellään taivutettuihin Lévy-prosesseihin liittyviä poistumisongelmia. Poistumisongelmilla tarkoitetaan arvojoukkovälin [a,c] päätepisteiden ylityksiin liittyviä ongelmia. Taivutettu Lévy-prosessi (englanniksi refracted Lévy process) määritellään työssä siten, että se on prosessi, jota taivutetaan alaspäin lineaarisen suoran avulla prosessin ollessa annetun arvon b yläpuolella, missä b kuuluu välille [a,c]. Matemaattisesti taivutettu Lévy-prosessi määritellään stokastisen differentiaaliyhtälön ja spektraalisti negatiivisen Lévy-prosessin avulla. Spektraalisti negatiivinen Lévy-prosessi (englanniksi spectrally negative Lévy process) on Lévy-prosessi, jolla on vain negatiivisia hyppyjä. Spektraalisti negatiivisilla Lévy-prosesseilla voidaan muun muassa mallintaa vakuutusyhtiöiden pääomaa. Työssä taivutetun Lévy-prosessin U poistumisongelmien yhtälöt johdetaan prosessiin U liittyvien spektraalisti negatiivisten Lévy-prosessien poistumisongelmien avulla. Spektraalisti negatiivisiin Lévy-prosesseihin liittyvien poistumisongelmien yhtälöissä käytetään skaalafunktioita (englanniksi scale function). Skaalafunktiot määritellään Laplace-muunnoksen avulla ja ne ovat yksikäsitteisiä annetun spektraalisti negatiivisen Lévy-prosessin suhteen. Työn lopussa esitellään riskimalli, jossa taivutettu Lévy-prosessi U mallintaa yrityksen taloudellista tilannetta. Poistumisongelmien avulla johdetaan yhtälöt, joiden avulla voidaan laskea prosessin U mallintaman yrityksen konkurssin todennäköisyys. Työ pohjautuu Jean-Francois Renaud'n työhön On the time spent in the red by a refracted Lévy risk process (J. Appl. Prob. 51, 1171-1188 (2014)).