Derivaatasta ja derivoituvuudesta
Authors
Date
2018Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tässä tutkielmassa käsitellään derivaattaa ja siihen liittyviä ilmiöitä. Aluksi käydään läpi derivaatan ja jatkuvuuden yhteyttä, mitä on tutkittu matematiikassa paljon. Jo 1800-luvulla osoitettiin, että on olemassa jatkuva funktio, joka ei ole missään pisteessä derivoituva. Kuitenkin funktion derivoituvuudesta seuraa funktion jatkuvuus. Tätä ei pidä sekoittaa funktion derivaattafunktion jatkuvuuteen, sillä derivaattafunktiot eivät välttämättä ole jatkuvia. Niillä on kuitenkin vastaava ominaisuus kuin jatkuvilla funktioilla, eli välissäolevien arvojen olemassolo. Tästä seuraa, että derivaattafunktiolla voi olla vain oleellisia epäjatkuvuuspisteitä, eli pisteitä, joissa derivaattafunktion raja-arvoa ei ole olemassa tai se on ääretön.
Funktiot eivät ole aina derivoituvia. Tästä syystä on kehitetty yleistyksiä perinteisestä derivaatasta. Tässä tutkielmassa esitellään niistä Dinin derivaatat ja funktion johdos. Näiden avulla pystytään osoittamaan mahdollisesti derivoitumattomilla funktioilla vastaavanlaisia lauseita kuin perinteisellä derivaatalla.
Tietyt ominaisuudet funktioilla takaavat kuitenkin derivoituvuuden melkein kaikkialla niiden määrittelyjoukossa. Tällaisia ominaisuuksia ovat monotonisuus, rajoitetusti heilahtelevuus ja absoluuttinen jatkuvuus. Funktion johdoksien avulla voidaan osoittaa, että monotoniset funktiot ovat melkein kaikkialla derivoituvia. Tästä ominaisuudesta seuraa, että myös rajoitetusti heilahtelevat funktiot ja absoluuttisesti jatkuvat funktiot ovat melkein kaikkialla derioituvia.
Tutkielman lopussa käsitellään derivaatan integroimista ja osoitetaan, että jos funktio halutaan saada takaisin sen derivaattafunktiota integroimalla, on funktion oltava tällöin absoluuttisesti jatkuva. Vastaesimerkkinä toimii kuuluisa Cantorin funktio.
...


Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [24512]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset
Karttunen, Hanna-Kaisa (2014)Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. ... -
Johdanto yleistettyyn sini- ja kosinifunktioon
Mikkola, Topias (2018)Tässä tutkielmassa määritellään sini- ja kosinifunktiot sinifunktion käänteisfunktion avulla ja näiden funktioiden yleistykset eli funktiot sin<i><SUB>p</SUB></i> ja cos<i><SUB>p</SUB></i> aiempia määritelmiä varioimalla. ... -
Konformisia ja lokaalisti konformisia kuvauksia
Jäntti, Pasi (2019)Tässä tutkielmassa perehdytään konformikuvauksiin liittyvään teoriaan. Erityisesti tarkastellaan konformikuvauksia eri kompleksitason alueiden välillä. Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan Riemannin kuvauslause, jonka ... -
Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla
Kauppinen, Jussi (2020)Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että ... -
Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat
Hakavuori, Eero (2014)Tämän tutkielman tavoitteena on esittää, miten analyyttisen funktion määrittelyjoukko laajennetaan Riemannin pinnaksi, joka sisältää informaation kaikista funktion analyyttisistä jatkeista kompleksitasossa. Tätä Riemannin ...