University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Derivaatasta ja derivoituvuudesta

Thumbnail
View/Open
572.3Kb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Lehtola, Piia
Date
2018
Discipline
Matematiikan opettajankoulutusTeacher education programme in Mathematics
Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

 
Tässä tutkielmassa käsitellään derivaattaa ja siihen liittyviä ilmiöitä. Aluksi käydään läpi derivaatan ja jatkuvuuden yhteyttä, mitä on tutkittu matematiikassa paljon. Jo 1800-luvulla osoitettiin, että on olemassa jatkuva funktio, joka ei ole missään pisteessä derivoituva. Kuitenkin funktion derivoituvuudesta seuraa funktion jatkuvuus. Tätä ei pidä sekoittaa funktion derivaattafunktion jatkuvuuteen, sillä derivaattafunktiot eivät välttämättä ole jatkuvia. Niillä on kuitenkin vastaava ominaisuus kuin jatkuvilla funktioilla, eli välissäolevien arvojen olemassolo. Tästä seuraa, että derivaattafunktiolla voi olla vain oleellisia epäjatkuvuuspisteitä, eli pisteitä, joissa derivaattafunktion raja-arvoa ei ole olemassa tai se on ääretön. Funktiot eivät ole aina derivoituvia. Tästä syystä on kehitetty yleistyksiä perinteisestä derivaatasta. Tässä tutkielmassa esitellään niistä Dinin derivaatat ja funktion johdos. Näiden avulla pystytään osoittamaan mahdollisesti derivoitumattomilla funktioilla vastaavanlaisia lauseita kuin perinteisellä derivaatalla. Tietyt ominaisuudet funktioilla takaavat kuitenkin derivoituvuuden melkein kaikkialla niiden määrittelyjoukossa. Tällaisia ominaisuuksia ovat monotonisuus, rajoitetusti heilahtelevuus ja absoluuttinen jatkuvuus. Funktion johdoksien avulla voidaan osoittaa, että monotoniset funktiot ovat melkein kaikkialla derivoituvia. Tästä ominaisuudesta seuraa, että myös rajoitetusti heilahtelevat funktiot ja absoluuttisesti jatkuvat funktiot ovat melkein kaikkialla derioituvia. Tutkielman lopussa käsitellään derivaatan integroimista ja osoitetaan, että jos funktio halutaan saada takaisin sen derivaattafunktiota integroimalla, on funktion oltava tällöin absoluuttisesti jatkuva. Vastaesimerkkinä toimii kuuluisa Cantorin funktio. ...
Keywords
derivaatta derivoituvuus derivoiminen funktiot differentiaalilaskenta
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-201810314561

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [23352]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Approximating hidden chaotic attractors via parameter switching 

    Danca, Marius-F.; Kuznetsov, Nikolay; Chen, Guanrong (American Institute of Physics, 2018)
    In this paper, the problem of approximating hidden chaotic attractors of a general class of nonlinear systems is investigated. The parameter switching (PS) algorithm is utilized, which switches the control parameter within ...
  • Differential structure associated to axiomatic Sobolev spaces 

    Giglia, Nicola; Pasqualetto, Enrico (Elsevier GmbH, Urban und Fischer, 2020)
    The aim of this note is to explain in which sense an axiomatic Sobolev space over a general metric measure space (à la Gol’dshtein–Troyanov) induces – under suitable locality assumptions – a first-order differential structure.
  • Integraalista ja joukon mitan käsitteestä 

    Arkko, Maria (2012)
  • Hyperreaaliluvut 

    Pienimäki, Santtu (2017)
    Hyperreaaliluvut ovat reaalilukujen joukon laajennus, jossa on olemassa äärettömän pieniä ja suuria lukuja. Hyperreaalilukuja käytetään differentiaali- ja integraalilaskennassa. Metodi on suosittu erityisesti fyysikoiden ...
  • Systematic implementation of higher order Whitney forms in methods based on discrete exterior calculus 

    Lohi, Jonni (Springer, 2022)
    We present a systematic way to implement higher order Whitney forms in numerical methods based on discrete exterior calculus. Given a simplicial mesh, we first refine the mesh into smaller simplices which can be used to ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre