Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö
Authors
Date
2018Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Todistetaan variaatio-ongelmissa hyödyllinen ja hyvin tunnettu
Pólyan ja Szegőn epäyhtälö, jonka mukaan Dirichlet'n
\(p\)-energia pienenee Sobolev-funktioiden Schwarzin symmetrisoinnissa.
Tämä voidaan muotoilla siten, että jos \(u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^n)\),
\(1 \le p < \infty\) ja \(u^\star\) on funktion \(u\) vähenevä pallosymmetrinen
uudelleenjärjestys, niin pätee
\[
\int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u^\star|^p\,dm_n \le \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u|^p\,dm_n.
\]
Schwarzin symmetrisoinnissa funktiota \(u\) kohti muodostetaan siis pallosymmetrinen
ja vähenevä funktio \(u^\star\) muuttamatta sen distribuutiofunktiota.
Näistä ominaisuuksista seuraa, että alkukuvajoukot \(\{u^\star > t\}\) ovat joukkojen
\(\{u > t\}\) kanssa samanmittaisia palloja. Tämä taas liittää symmetrisoinnin
luontevasti isoperimetriseen epäyhtälöön, jonka mukaan avaruuden \(\mathbb{R}^n\)
samanmittaisista (ja äärellismittaisista) osajoukoista palloilla on pienin reunan pintamitta.
Tämä on myös perimmäinen syy sille, miksi Pólyan ja Szegőn epäyhtälö on tosi.
...


Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [25543]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla
Kauppinen, Jussi (2020)Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että ... -
Weighted Hardy inequalities beyond Lipschitz domains
Lehrbäck, Juha (American Mathematical Society, 2014)It is a well-known fact that in a Lipschitz domain Ω ⊂ R n a p-Hardy inequality, with weight dist(x, ∂Ω)β , holds for all u ∈ C ∞0 (Ω) whenever β < p − 1. We show that actually the same is true under the sole assumption ... -
Self-improvement of weighted pointwise inequalities on open sets
Eriksson-Bique, Sylvester; Lehrbäck, Juha; Vähäkangas, Antti V. (Elsevier BV, 2020)We prove a general self-improvement property for a family of weighted pointwise inequalities on open sets, including pointwise Hardy inequalities with distance weights. For this purpose we introduce and study the classes ... -
Sobolevin epäyhtälön parhaasta vakiosta
Helén, Markus (2012)