Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö

Abstract

Todistetaan variaatio-ongelmissa hyödyllinen ja hyvin tunnettu Pólyan ja Szegőn epäyhtälö, jonka mukaan Dirichlet'n \(p\)-energia pienenee Sobolev-funktioiden Schwarzin symmetrisoinnissa. Tämä voidaan muotoilla siten, että jos \(u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^n)\), \(1 \le p < \infty\) ja \(u^\star\) on funktion \(u\) vähenevä pallosymmetrinen uudelleenjärjestys, niin pätee \[ \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u^\star|^p\,dm_n \le \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u|^p\,dm_n. \]

Schwarzin symmetrisoinnissa funktiota \(u\) kohti muodostetaan siis pallosymmetrinen ja vähenevä funktio \(u^\star\) muuttamatta sen distribuutiofunktiota. Näistä ominaisuuksista seuraa, että alkukuvajoukot \(\{u^\star > t\}\) ovat joukkojen \(\{u > t\}\) kanssa samanmittaisia palloja. Tämä taas liittää symmetrisoinnin luontevasti isoperimetriseen epäyhtälöön, jonka mukaan avaruuden \(\mathbb{R}^n\) samanmittaisista (ja äärellismittaisista) osajoukoista palloilla on pienin reunan pintamitta. Tämä on myös perimmäinen syy sille, miksi Pólyan ja Szegőn epäyhtälö on tosi.