Riemann surfaces and Teichmüller theory

Abstract

Riemannin pinnat ja Teichmüller-teoriaa.

Tämän työn päämääränä on määritellä Riemannin pintojen Teichmüller-avaruudet sekä tutkia niiden geometrisia ominaisuuksia. Ensin työssä kehitetään peiteavaruuksien ja toimintojen teoriaa, jota sovelletaan Möbius-kuvauksista koostuviin ryhmiin. Tämän jälkeen kvasikonformaalikuvaukset määritellään Riemannin pinnoille ja niiden yhteyttä yhdesti yhtenäisten Riemannin avaruuksien kvasikonformikuvauksiin tutkitaan. Näitä tietoja sekä yhdesti yhtenäisten Riemannin pintojen uniformisaatiolausetta hyödyntämällä todistetaan yleisten Riemannin pintojen uniformisaatiolause. Tämä tulos liittää pinnat Möbius-kuvauksien toimintoihin yhdesti yhtenäisillä Riemannin pinnoilla.

Yleisten Riemannin pintojen uniformaatioteoreema mahdollistaa työssä käytetyt Teichmüllerin avaruuksien määritelmät. Näille avaruuksille annetaan useampi ekvivalentti määritelmä. Tämän jälkeen Teichmüllerin avaruuksiin määritellään teorian kannalta luonnollinen etäisyysfunktio, joka tekee avaruuksista geodeettisen ja täydellisen. Lisäksi osoitetaan että Riemannin pintojen väliset kvasikonformaalikuvaukset indusoivat surjektiivisen isometrian pintojen Teichmüllerin avaruuksien välille. Lopuksi yhdesti yhtenäisten Riemannin pintojen, punkteerattujen kompaktien Riemannin pintojen sekä topologisten sylintereiden Teichmüller-avaruudet karakterisoidaan. Yhdesti yhtenäisistä pinnoista vain hyperbolisella tasolla osoittautuu olevan epätriviaali Teichmüllerin avaruus. Topologisten sylintereiden tapauksessa havaitaan kolme erilaista Teichmüllerin avaruutta, jotka vastaavat punkteerattua tasoa, punkteerattua kiekkoa ja rengasta.

The main objective of this work is to develop the necessary tools to define the Teichmüller spaces of Riemann surfaces and study their geometric properties. Firstly, some theory of covering spaces and topological actions will be studied and the results applied to Möbius transformations. Secondly, quasiconformal maps between Riemann surfaces will be defined and they will be characterized using quasiconformal maps between simply-connected Riemann surfaces. These results and the Uniformization Theorem of simply-connected Riemann surfaces will be used to prove a Uniformization Theorem for general Riemann surfaces. Such surfaces will be linked to actions of Möbius transformations on simply-connected Riemann surfaces.

The Uniformization Theorem of Riemann surfaces will be used to define Teichmüller spaces. A couple of equivalent definitions will be introduced. After that a natural distance function is defined on Teichmüller spaces which makes them geodesic and complete. It will be shown that quasiconformal maps between Riemann surfaces induce isometries between their Teichmüller spaces. Finally, the Teichmüller spaces of Riemann surfaces that are either simply-connected, punctured compact Riemann surfaces, or topological cylinders will be characterized. In the simply-connected case, only the hyperbolic plane has a non-trivial Teichmüller space. The topological cylinders have three distinct Teichmüller spaces each of which correspond to exactly one of the following: the once-punctured plane, the once-punctured disk, or annuli.