Klassisia variaatio-ongelmia

Abstract

Tämä tutkielma käsittelee variaatiolaskentaa. Variaatiolaskenta on saanut alkunsa matemaattisesta analyysistä 1700-luvun vaihteessa Johann Bernoullin esittämän Brachistochrone-ongelman vaikutuksesta. Tätä matematiikan alaa voidaan pitää yleistyksenä analyysin ongelmaan funktioiden ääriarvopisteiden löytämisestä. Reaaliarvoisten funktioiden sijaan variaatiolaskenta käsittelee funktionaaleja. Funktionaalit ovat kuvauksia funktioavaruudesta reaaliluvuille. Funktionaaleilla mallinnetaan ongelmaa, johon variaatiolaskennalla etsitään ratkaisu. Variaatiolaskenta keskittyykin funktion, jolla funktionaali saa suurimman tai pienimmän arvonsa, etsimiseen. Yksinkertaisin esimerkki on kahden pisteen, P1 ja P2, välisen lyhimmän etäisyyden ratkaiseminen. Tällöin käsiteltävä funktionaali on pisteitä yhdistävän jatkuvasti differentioituvan käyrän P:[0,1]->Rn pituus /|P'(t)dt ja funktionaalia minimoidaan reunaehtot P(0)=P1 ja P(1)=P2 toteuttavien käyrien luokassa. Minimointiongelmiin voidaan liittää myös muunkinlaisia reunaehtoja, esimerkiksi käyrän rajaamaa pinta-alaa voidaan minimoida annetun pituisten käyrien joukossa. Tällaisiin ongelmiin etsitään ratkaisu reunaehtojen toteutuessa käyttäen variaatiolaskennan työkaluja. Niistä yksi tärkeimmistä on Eulerin yhtälö, joka antaa analyysin derivaatan nollakohtaa vastaavan ehdon funktioille, joilla funktionaalin ääriarvo saavutetaan. Nykyisin variaatiolaskentaa sovelletaan monien eri tieteenalojen, kuten kemian, tietotekniikan, biologian ja taloustieteiden ongelmiin. Sen sijaan alkuperäiset variaatiolaskennan kysymykset ovat yleensä peräisin fysiikasta tai geometrian ongelmista. Näistä esimerkiksi Brachistochrone-ongelmassa tutkitaan kappaleen liukumiseen kuluvaa aikaa ja pyritään löytämään sen minimi. Toinen esimerkki klassisista ongelmista on isoperimetrinen ongelma, jossa etsitään pinta-alan maksimia, kun alueen rajaavan käyrän pituus on kiinnitetty.