Klassisia variaatio-ongelmia
Tämä tutkielma käsittelee variaatiolaskentaa. Variaatiolaskenta on saanut alkunsa matemaattisesta analyysistä 1700-luvun vaihteessa Johann Bernoullin esittämän Brachistochrone-ongelman vaikutuksesta. Tätä matematiikan alaa voidaan pitää yleistyksenä analyysin ongelmaan funktioiden ääriarvopisteiden löytämisestä.
Reaaliarvoisten funktioiden sijaan variaatiolaskenta käsittelee funktionaaleja.
Funktionaalit ovat kuvauksia funktioavaruudesta reaaliluvuille.
Funktionaaleilla mallinnetaan ongelmaa, johon variaatiolaskennalla etsitään ratkaisu. Variaatiolaskenta keskittyykin funktion, jolla funktionaali saa suurimman tai pienimmän arvonsa, etsimiseen.
Yksinkertaisin esimerkki on kahden pisteen, P1 ja P2, välisen lyhimmän etäisyyden ratkaiseminen.
Tällöin käsiteltävä funktionaali on pisteitä yhdistävän jatkuvasti differentioituvan käyrän P:[0,1]->Rn pituus /|P'(t)dt ja funktionaalia minimoidaan reunaehtot P(0)=P1 ja P(1)=P2 toteuttavien käyrien luokassa.
Minimointiongelmiin voidaan liittää myös muunkinlaisia reunaehtoja, esimerkiksi käyrän rajaamaa pinta-alaa voidaan minimoida annetun pituisten käyrien joukossa. Tällaisiin ongelmiin etsitään ratkaisu reunaehtojen toteutuessa käyttäen variaatiolaskennan työkaluja. Niistä yksi tärkeimmistä on Eulerin yhtälö, joka antaa analyysin derivaatan nollakohtaa vastaavan ehdon funktioille, joilla funktionaalin ääriarvo saavutetaan.
Nykyisin variaatiolaskentaa sovelletaan monien eri tieteenalojen, kuten kemian, tietotekniikan, biologian ja taloustieteiden ongelmiin.
Sen sijaan alkuperäiset variaatiolaskennan kysymykset ovat yleensä peräisin fysiikasta tai geometrian ongelmista. Näistä esimerkiksi Brachistochrone-ongelmassa tutkitaan kappaleen liukumiseen kuluvaa aikaa ja pyritään löytämään sen minimi. Toinen esimerkki klassisista ongelmista on isoperimetrinen ongelma, jossa etsitään pinta-alan maksimia, kun alueen rajaavan käyrän pituus on kiinnitetty.
...
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [29533]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Brachistochrone-ongelma
Okkolin, Pauliina (2021)Tämä tutkielma käsittelee Brachistochrone-ongelmana tunnettavaa minimointiongelmaa. Ongelmassa on ideana löytää kahden tason pisteen A ja B välinen käyrä, joka minimoi ajan, joka massalliselta kappaleelta kuluu liukua ... -
Maahanmuuttajasairaanhoitajien kielen tilanteinen vaihtelu
Harju, Hanna (2019)Tutkielmassani selvitän, millaista tilanteista vaihtelua maahanmuuttajasairaanhoitajien puhekielessä esiintyy simuloiduissa ammatillisissa vuorovaikutustilanteissa. Ulkomaalaistaustaisten sairaanhoitajien määrän kasvu ... -
Language, ideology and world Englishes : an analysis of 8th grade ELT materials in Finland
Palokangas, Anna (2023)Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet (POPS2014) ohjaa oppilaita tutustumaan englanninkielisen maailman kielivariantteihin ja kulttuureihin. Englanninopetus Suomessa on kuitenkin pitkään keskittynyt brittienglannin ... -
Faktorer som påverkat ordintonationen och kvantiteten i finlandssvenskan
Kuronen, Mikko (Oulun yliopisto, 2022) -
Kielen muutos ja variaatio
Honko, Mari (Puheen ja kielen tutkimuksen yhdistys ry, 2022)