Show simple item record

dc.contributor.advisorRajala, Kai
dc.contributor.authorMartimo, Meeri
dc.date.accessioned2017-03-24T15:07:27Z
dc.date.available2017-03-24T15:07:27Z
dc.date.issued2016
dc.identifier.otheroai:jykdok.linneanet.fi:1690427
dc.identifier.urihttps://jyx.jyu.fi/handle/123456789/53366
dc.description.abstractMeeri Martimo, Gromov-hyperboliset ryhmät (engl. Gromov-hyperbolic groups), matematiikan pro gradu -tutkielma, 51 s., Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, syksy 2016. Tässä tutkielmassa käsitellään Gromov-hyperbolisia ryhmiä, jotka ovat geometrisen ryhmäteorian tutkimuskohde. Geometrinen ryhmäteoria on melko uusi matematiikan suuntaus, ja 1980-luvulla Gromov-hyperboliset ryhmät kehittänyt ranskalaisvenäläinen matemaatikko Mikhail Gromov yksi sen uranuurtajista. Gromov-hyperbolisuus määritellään ensin metrisille avaruuksille tietyllä tavalla ohuiden kolmioiden avulla. Kolmiot ovat vaaditulla tavalla ohuita esimerkiksi hyperbolisissa avaruuksissa, mutta eivät reaaliakselia korkeampiulotteisissa euklidisissa avaruuksissa. Gromov-hyperbolisen metrisen avaruuden reuna voidaan määritellä kiinnitetystä pisteestä alkavien puolisuorien ekvivalenssiluokkien joukkona. Näin määriteltyyn reunaan ja sillä täydennettyyn alkuperäiseen metriseen avaruuteen voidaan edelleen määritellä topologiat. Tällöin osoittautuu, että reunalla täydennetty metrinen avaruus on alkuperäisen avaruuden kompaktisointi. Gromov-hyperbolisuuden ja reunan käsitteet yleistetään metrisiltä avaruuksilta ryhmille samaistamalla ryhmä ja sen Cayleyn graafi kvasi-isometrian avulla. Tällöin voidaan määritellä, että ryhmä on Gromov-hyperbolinen, jos sen Cayleyn graafi on metrisenä avaruutena Gromov-hyperbolinen, ja että ryhmän reuna on sen Cayleyn graafin reuna. Nämä määritelmät ovat mielekkäitä, sillä ryhmän ja sen Cayleyn graafin kvasi-isometrisuus takaa, että monet niiden suuren mittakaavan ominaisuuksista ovat samanlaisia. Gromov-hyperbolisten ryhmien erilaisten reunojen kirjo on mielenkiintoinen: esimerkiksi tyhjä joukko, kaksi pistettä, ympyrä tai sen osa, Cantorin joukko ja Sierpinskin matto ovat tässä tutkielmassa esiteltäviä hyperbolisten ryhmien reunoja. Toinen hyperbolisten ryhmien mielenkiintoinen ominaisuus on ryhmäteorian klassisten päätösongelmien ratkeavuus. Tutkielman päätuloksena osoitetaan, että Gromov-hyperbolisen ryhmän sanaongelmalla on ratkaisu. Toisin sanoen jokaiselle Gromov-hyperboliselle ryhmälle on olemassa ratkaisualgoritmi, joka kertoo äärellisen monen vaiheen jälkeen, onko mielivaltainen ryhmän virittäjäjoukon alkioiden avulla kirjoitettu sana ryhmän yksikköalkion esitys vai ei. Tämä tulos ei ole triviaali, sillä on olemassa äärellisesti esitettyjä ryhmiä, joiden sanaongelmalla ei ole ratkaisua.fi
dc.format.extent1 verkkoaineisto (57 sivua)
dc.language.isofin
dc.rightsJulkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.fi
dc.rightsThis publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.en
dc.subject.otherGromov-hyperbolisuus
dc.subject.otherhyperbolinen ryhmä
dc.titleGromov-hyperboliset ryhmät
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:jyu-201703241753
dc.type.ontasotPro gradufi
dc.type.ontasotMaster's thesisen
dc.contributor.tiedekuntaMatemaattis-luonnontieteellinen tiedekuntafi
dc.contributor.tiedekuntaFaculty of Sciencesen
dc.contributor.laitosMatematiikan ja tilastotieteen laitosfi
dc.contributor.laitosDepartment of Mathematics and Statisticsen
dc.contributor.yliopistoUniversity of Jyväskyläen
dc.contributor.yliopistoJyväskylän yliopistofi
dc.contributor.oppiaineMatematiikkafi
dc.contributor.oppiaineMathematicsen
dc.date.updated2017-03-24T15:07:28Z
dc.rights.accesslevelopenAccessfi
dc.contributor.oppiainekoodi4041
dc.subject.ysoryhmäteoria
dc.subject.ysogeometria


Files in this item

Thumbnail

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record