Affine decomposition of isometries in nilpotent Lie groups

Abstract

Tässä työssä esitetään uusi tulos koskien isometrioiden säännöllisyyttä nilpotenttien yhtenäisten metristen Lien ryhmien välillä. Termillä metrinen Lien ryhmä tarkoitamme Lien ryhmää, joka on varustettu etäisyysfunktiolla siten, että ryhmän (vasen) siirtokuvaus on isometria, ja etäisyysfunktio indusoi topologian, joka Lien ryhmällä on monistona alun perin olemassa. Todistamme, että isometriat tässä tilanteessa ovat välttämättä affiinikuvauksia: jokainen isometria voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena siirrosta ja isomorfismista. Tämän seurauksena kaksi isometrista ryhmää ovat välttämättä isomorfiset. Klassisesti isometrioiden lineaariaffiinisuus on tunnettu Euklidisessa avaruudessa, mutta myöhemmin vastaava yleistetty tulos on todistettu reaalisissa normiavaruuksissa (Mazur–Ulam lause) ja nilpotenteissa yhtenäisissä Riemannilaisissa Lien ryhmissä (E.N. Wilson). Viime vuosina tulos on onnistuttu todistamaan myös subRiemannilaisissa ja subFinsleriläisissä Carnot’n ryhmissä. Metrinen Lien ryhmä on näitä kaikkia yleisempi avaruus, lukuun ottamatta ääretönulotteisia normiavaruuksia. Todistus perustuu Montgomery–Zippinin lokaalisti kompaktien ryhmien teoriasta johdettaviin isometrioiden säännöllisyysominaisuuksiin sekä mainitun Wilsonin tuloksen käyttöön. Toteamme lopuksi, että niin yhtenäisyys kuin nilpotenttiuskin ovat välttämättömiä oletuksia siinä mielessä, että voimme esittää vastaesimerkit kummasta tahansa näistä oletuksista luovuttaessa.

We show that any isometry between two connected nilpotent metric Lie groups can be expressed as a composition of a translation and an isomorphism, i.e. isometries have an affine decomposition. By the term metric Lie group we mean a Lie group with a left-invariant distance that induces the topology of the manifold. It also follows that two isometric groups are isomorphic in this setting. Classically isometries are known to have the affine decomposition in the setting of Euclidean space and more generally in normed vector spaces over reals (Mazur-Ulam theorem) and nilpotent connected Riemannian Lie groups (E.N. Wilson). The result is also recently proved in subRiemannian (even subFinsler) Carnot groups. Metric Lie groups are more general spaces than these, excluding the infinite dimensional normed spaces. Our proof is based on the theory of locally compact groups of Montgomery–Zippin and on the usage of the above mentioned result by Wilson. In a sense our result is a maximal generalization: After proving the result we construct counterexamples to the result in the cases where either nilpotency or connectedness is dropped from the list of assumptions.