Isometries of nilpotent metric groups
Kivioja, V., & Le Donne, E. (2017). Isometries of nilpotent metric groups. Journal de l'École polytechnique: Mathématiques, 4, 473-482. https://doi.org/10.5802/jep.48
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2017Tekijänoikeudet
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We consider Lie groups equipped with arbitrary distances. We only assume that
the distances are left-invariant and induce the manifold topology. For brevity, we call such
objects metric Lie groups. Apart from Riemannian Lie groups, distinguished examples are subRiemannian
Lie groups, homogeneous groups, and, in particular, Carnot groups equipped with
Carnot–Carathéodory distances. We study the regularity of isometries, i.e., distance-preserving
homeomorphisms. Our first result is the analyticity of such maps between metric Lie groups. The
second result is that if two metric Lie groups are connected and nilpotent then every isometry
between the groups is the composition of a left translation and an isomorphism. There are
counterexamples if one does not assume the groups to be either connected or nilpotent. The
first result is based on a solution of the Hilbert’s fifth problem by Montgomery and Zippin.
The second result is proved, via the first result, reducing the problem to the Riemannian case,
which was essentially solved by Wolf.
...
Nous considérons des groupes de Lie
munis de distances arbitraires. Nous supposons seulement que ces distances sont invariantes
à gauche et induisent la topologie de la variété sous-jacente. Nous appelons groupes de Lie
métriques de tel objets. Mis à part les groupes de Lie riemanniens, des exemples remarquables
sont donnés par les groupes de Lie sous-riemanniens, les groupes homogènes et, en particulier, les
groupes de Carnot munis de distances de Carnot–Carathéodory. Nous montrons la régularité des
isométries, c’est-à-dire des homéomorphismes qui préservent la distance. Notre premier résultat
est l’analyticité de telles applications entre des groupes de Lie métriques. Le second résultat est
que, si deux groupes de Lie métriques sont connexes et nilpotents, alors toute isométrie entre
ces groupes est la composition d’une translation à gauche et d’un isomorphisme. Il y a des
contre-exemples si on ne suppose pas que les groupes sont connexes ou nilpotents. Le premier
résultat repose sur la solution du cinquième problème de Hilbert par Montgomery et Zippin. Le
second résultat est démontré à l’aide du premier, en réduisant le problème au cas riemannien,
cas qui a été essentiellement résolu par Wolf.
...
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École polytechnique, Université Paris-SaclayISSN Hae Julkaisufoorumista
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