Äärellisen väännön kuvaukset : diskreettisyys ja avoimuus

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella äärellisen väännön kuvauksia euklidisissa avaruuksissa, erityisesti niiden diskreettisyyttä ja avoimuutta. Äärellisen väännön kuvaukset ovat yleistys kvasisäännöllisistä kuvauksista, jotka molemmat määritellään käyttämällä vääntöepäyhtälöä. Kvasisäännöllisille eli rajoitetun väännön kuvauksille voimassa olevat tulokset jatkuvuudesta, diskreettisyydestä ja avoimuudesta säilyvät myös äärelliseen vääntöön siirryttäessä. Tähän tarvitaan kuitenkin joitain oletuksia kuvauksen vääntöfunktiosta. Työssä konstruoidaan vastaesimerkkejä kuvauksista, joille nämä ominaisuudet eivät välttämättä ole voimassa. Tutkielman päätuloksina osoitetaan, että Sobolev-avaruuden W^(1,n)_loc äärellisen väännön kuvauksella on olemassa jatkuva edustaja, joka on vakio tai diskreetti ja avoin, kun oletetaan lisäksi, että vääntöfunktio K on kyllin integroituva. Näiden tulosten rinnalla todistetaan molempien väitteiden seuraavan vaihtoehtoisesti myös siitä, että vääntöfunktio on eksponentiaalisesti integroituva.