Transkendenttiluvuista

Abstract

Tämän pro gradu - tutkielman aiheena on transkendenttiluvut. Ne ovat lukuja, jotka eivät voi olla minkään kokonaislukukertoimisen polynomin, joka ei ole nollapolynomi, nollakohtia. Tutkielman tärkeimmät tulokset ovat Liouvillen lause, Lindemann-Weierstrassin lause sekä Gelfond-Schneiderin lause. Näiden kolmen lauseen avulla voidaan todistaa joitakin lukuja transkendenttisiksi. Yleisesti ottaen luvun transkendenttiseksi todistaminen on vaikeaa, eikä yleistä menetelmää tähän tunneta. Nämä kolme lausetta kuitenkin auttavat joissakin tapauksissa, kuten todistamaan e:n ja piin transkendenttisiksi. Tutkielma etenee m ääritelmien ja perusalgebran kautta p äätulosten esittelyyn ja transkendenttisyystodistuksiin. Liouvillen lause ja siihen liittyvät todistukset esitelln kappaleessa 3. Lindemann-Weierstrassin lause ja Gelfond-Schneiderin lause puolestaan kappaleessa 4. Nit kahta ei kuitenkaan todisteta, sill a ne ovat liian vaikeita tässä tutkielmassa esitettäviksi.