Matriisinormeista

Abstract

Tässä tutkielmassa käsitellään vektori- ja matriisinormeja, niiden ominaisuuksia ja niihin liittyviä tuloksia. Matriisinormien tarkastelemiseksi on ensin mielekästä tietää, mikä on vektorinormi ja millaisia ominaisuuksia siltä vaaditaan. Vektorinormilla voidaan esimerkiksi laskea vektorin pituus. Matriisinormi taas mittaa esimerkiksi sitä, kuinka paljon maksimissaan vektori venyy matriisilla kerrottaessa. Vektorinormeille asetetaan kolme vaatimusta, joiden kaikkien tulee olla voimassa: positiivisuus, homogeenisuus ja kolmioepäyhtälö. Koska matriisit koostuvat vektoreista, siirtyvät vektorinormien vaatimukset suoraan matriisinormeille. Vektorinormien vaatimusten lisäksi matriisinormeille määritellään vielä yksi ehto lisää; matriisitulon submultiplikatiivisuuden tulee olla voimassa. Neljännen ehdon lisääminen matriisinormeille aiheuttaa sen, että kaikki vektorinormit eivät ole matriisinormeja. On olemassa useita erilaisia vektori- ja matriisinormeja, joita hyödynnetään tapauskohtaisesti. Yleisin tunnettu vektorinormi on euklidinen normi. Matriisinormeista tutkielman kannalta oleellinen on spektraalinormi, jossa tarvitaan matriisin ominaisarvojen hallintaa. Joillekin matriisinormeille voidaan määrätä yhteensopiva vektorinormi, jolloin sanotaan, että matriisinormi sopeutuu vektorinormiin. Lisäksi jokainen vektorinormi indusoi matriisinormin. Indusoitu matriisinormi aina myös sopeutuu vektorinormiin, josta se on indusoitu. Esimerkiksi euklidinen normi indusoi spektraalinormin ja samalla siis spektraalinormi sopeutuu euklidiseen normiin. Kaikki matriisinormit eivät ole indusoituja matriisinormeja. Spektraalisäde määritellään matriisin itseisarvoltaan suurimmaksi ominaisarvoksi. Spektraalisäde ei ole vektori- eikä matriisinormi. Kuitenkin voidaan todistaa, että jokin matriisinormi saadaan äärimmäisen lähelle spektraalisädettä. Eräs spektraalisäteeseen liittyvä tärkeä tulos antaa yhteyden myös matriisijonon suppenemiselle: matriisitulo suppenee, jos ja vain jos spektraalisäde on pienempi kuin yksi. Matriisijonon suppeneminen määritellään alkioittain eli matriisijono suppenee kohti jotakin tiettyä matriisia, jos kaikki matriisin alkiot suppenevat kohti jotakin tiettyä alkiota. Matriisinormeja sovelletaan muun muassa käänteismatriisien virheiden arvioinnissa. Matriisille voidaan määrittää ehtoluku, joka mittaa esimerkiksi matriisin alkioissa mahdollisesti sattuneiden pyöristysvirheiden suuruutta. Matriisin ehtoluku riippuu valitusta matriisinormista. Mitä suurempi ehtoluku on, sitä suurempi on matriisin virhealttius. Tämän tutkielman lopussa esitetään opitun teorian pohjalta kurssisuunnitelma "Matriisit tutuiksi", jonka on tarkoitus olla lukion pitkän matematiikan syventävä kurssi.