University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Matriisinormeista

Thumbnail
View/Open
400.8 Kb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Carlson, Sanni
Date
2015
Discipline
MatematiikkaMathematics

 
Tässä tutkielmassa käsitellään vektori- ja matriisinormeja, niiden ominaisuuksia ja niihin liittyviä tuloksia. Matriisinormien tarkastelemiseksi on ensin mielekästä tietää, mikä on vektorinormi ja millaisia ominaisuuksia siltä vaaditaan. Vektorinormilla voidaan esimerkiksi laskea vektorin pituus. Matriisinormi taas mittaa esimerkiksi sitä, kuinka paljon maksimissaan vektori venyy matriisilla kerrottaessa. Vektorinormeille asetetaan kolme vaatimusta, joiden kaikkien tulee olla voimassa: positiivisuus, homogeenisuus ja kolmioepäyhtälö. Koska matriisit koostuvat vektoreista, siirtyvät vektorinormien vaatimukset suoraan matriisinormeille. Vektorinormien vaatimusten lisäksi matriisinormeille määritellään vielä yksi ehto lisää; matriisitulon submultiplikatiivisuuden tulee olla voimassa. Neljännen ehdon lisääminen matriisinormeille aiheuttaa sen, että kaikki vektorinormit eivät ole matriisinormeja. On olemassa useita erilaisia vektori- ja matriisinormeja, joita hyödynnetään tapauskohtaisesti. Yleisin tunnettu vektorinormi on euklidinen normi. Matriisinormeista tutkielman kannalta oleellinen on spektraalinormi, jossa tarvitaan matriisin ominaisarvojen hallintaa. Joillekin matriisinormeille voidaan määrätä yhteensopiva vektorinormi, jolloin sanotaan, että matriisinormi sopeutuu vektorinormiin. Lisäksi jokainen vektorinormi indusoi matriisinormin. Indusoitu matriisinormi aina myös sopeutuu vektorinormiin, josta se on indusoitu. Esimerkiksi euklidinen normi indusoi spektraalinormin ja samalla siis spektraalinormi sopeutuu euklidiseen normiin. Kaikki matriisinormit eivät ole indusoituja matriisinormeja. Spektraalisäde määritellään matriisin itseisarvoltaan suurimmaksi ominaisarvoksi. Spektraalisäde ei ole vektori- eikä matriisinormi. Kuitenkin voidaan todistaa, että jokin matriisinormi saadaan äärimmäisen lähelle spektraalisädettä. Eräs spektraalisäteeseen liittyvä tärkeä tulos antaa yhteyden myös matriisijonon suppenemiselle: matriisitulo suppenee, jos ja vain jos spektraalisäde on pienempi kuin yksi. Matriisijonon suppeneminen määritellään alkioittain eli matriisijono suppenee kohti jotakin tiettyä matriisia, jos kaikki matriisin alkiot suppenevat kohti jotakin tiettyä alkiota. Matriisinormeja sovelletaan muun muassa käänteismatriisien virheiden arvioinnissa. Matriisille voidaan määrittää ehtoluku, joka mittaa esimerkiksi matriisin alkioissa mahdollisesti sattuneiden pyöristysvirheiden suuruutta. Matriisin ehtoluku riippuu valitusta matriisinormista. Mitä suurempi ehtoluku on, sitä suurempi on matriisin virhealttius. Tämän tutkielman lopussa esitetään opitun teorian pohjalta kurssisuunnitelma "Matriisit tutuiksi", jonka on tarkoitus olla lukion pitkän matematiikan syventävä kurssi. ...
Keywords
vektorinormi matriisinormi spektraalisäde ehtoluku vektorit matriisit
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-201502111286

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [23985]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Kompleksiset vektoriavaruudet 

    Särkijärvi, Tuomas (2020)
    Tässä matematiikan pro gradu -tutkielmassa perehdytään kompleksisiin vektoriavaruuksiin ja sivutaan myös niiden sovelluskohteita. Tutkielman tavoitteena on esitellä riittävät tiedot, jotta lukija voi muodostaa eheän ...
  • Poincaré Type Inequalities for Vector Functions with Zero Mean Normal Traces on the Boundary and Applications to Interpolation Methods 

    Repin, Sergey (Springer, 2019)
    We consider inequalities of the Poincaré–Steklov type for subspaces of H1 -functions defined in a bounded domain Ω∈Rd with Lipschitz boundary ∂Ω . For scalar valued functions, the subspaces are defined by zero mean ...
  • Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta 

    Horttanainen, Lauri (2008)
  • A Surrogate-assisted Reference Vector Guided Evolutionary Algorithm for Computationally Expensive Many-objective Optimization 

    Chugh, Tinkle; Jin, Yaochu; Miettinen, Kaisa; Hakanen, Jussi; Sindhya, Karthik (Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2018)
    We propose a surrogate-assisted reference vector guided evolutionary algorithm (EA) for computationally expensive optimization problems with more than three objectives. The proposed algorithm is based on a recently developed ...
  • BCH-koodeista 

    Sjöman, Juhani (2021)
    Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustuttaa lukija BCH-koodeihin. BCH-koodit ovat syklisiä koodeja ja ne pystyvät korjaamaan useita virheitä. Tutkielmassa esitetään erilaisia tapoja korjata koodisanoihin tulleita virheitä ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre