Pólyan lause

Abstract

Tämän tutkielman aiheena on Pólyan lause. Se on stokastinen tulos, jonka mukaan symmetrinen satunnaiskävely yksi- ja kaksiulotteisessa hilassa on palautuva, mutta kolme- ja ylempiulotteisessa hilassa poistuva. Tämä tarkoittaa, että kun yksi- tai kaksiulotteisessa hilassa lähdetään mistä tahansa pisteestä liikkeelle niin, että jokaisen suunnan valitsemisen todennäköisyys on sama, päädytään melkein varmasti joskus takaisin alkupisteeseen, kun taas kolme- ja ylempiulotteisessa hilassa ei välttämättä koskaan palata takaisin. Tutkielman tavoitteena on todistaa Pólyan lause. Se todistetaan tekemällä hiloista sähköverkkoja ja käyttämällä tuloksia, jotka satunnaiskävelylle todistetaan fysikaalista intuitiota käyttäen. Tutkielma aloitetaan verkkoteorialla, sillä hilat ovat verkkoja. Määritellään verkko sekä annetaan määritelmiä verkkojen ominaisuuksille. Yksi näistä ominaisuuksista on verkon kävely, jota tarvitaan satunnaiskävelyn määrittelyyn. Tämän jälkeen esitellään Markovin ketjut, sillä satunnaiskävely on tietyt ehdot täyttävä Markovin ketju. Annetaan määritelmä Markovin ketjulle, ja esitellään Markovin ketjujen ominaisuuksia. Kerrotaan esimerkiksi, milloin Markovin ketju on palautuva ja milloin poistuva, mikä on tärkeää Pólyan lausetta varten. Tämän jälkeen määritellään satunnaiskävely Markovin ketjujen ja verkkojen avulla. Seuraavaksi käsitellään sähköverkkoja. Aluksi määritellään sähköverkko, minkä jälkeen käsitellään sähköverkkojen virtauksia ja potentiaaleja. Lisäksi annetaan virtauksen energialle määritelmä sekä esitellään efektiivinen resistanssi. Tämän jälkeen todistetaan Markovin ketjun palautuvuuteen ja poistuvuuteen liittyvä tulos efektiivisen resistanssin sekä virtauksien ja energian avulla. Kyseinen tulos on yksi tutkielman tärkeimmistä, koska sitä käytetään Pólyan lauseen todistuksessa. Tutkielman lopuksi muotoillaan Pólyan lause ja todistetaan se.