Resurgent perturbation theory

Abstract

Tämän tutkielman tavoitteena oli tutkia resurgenssiteoriaa ja miten se kytkeytyy häiriöteoriaan. Resurgenssiteoria on eksponentiaalisen tarkka asymptoottinen teoria ja sen avulla voimme uudelleensummata hajoavia sarjoja Borel summauksen avulla. Resurgenssiteorian ydin on Borel muunnetun hajoavan sarjan singulariteeteissä joihin kytkeytyy eksponentiaalisen pienet tekijät, joita ei voida selvittää tavallisen häiriöteorian avulla, niin kutsutut ei-häiriöteoreettiset ilmiöt. Resurgenssiteorian sovelluksena kvanttimekaniikkaan tutkittiin eksaktia WKB menetelmää. Tavallinen WKB menetelmä tiedetään olevan approksimatiivinen menetelmä, mutta resurgenssiteorian avulla siitä saadaan tarkka menetelmä. Eksaktin WKB menetelmää voidaan käyttää eksaktien kvantisaatioehtojen selvittämiseksi geometrisesti käyttäen Stokesin graafeja.

The aim of this thesis was to study the theory of resurgence and how it relates to perturbation theory. Resurgence theory is exponentially accurate asymptotic theory and it gives us tools to resum divergent series via the Borel resummation procedure. The essence of resurgence is in the singularities of the Borel transformed asymptotic series which correspond to exponentially small factors that ordinary perturbation theory misses, the non-perturbative effects. As an application of resurgence in quantum mechanics the exact WKB method was studied. The standard WKB method is known as an approximation method but via resurgence it can be shown to be an exact method. Using the exact WKB we can find the exact quantization conditions for spectral problems geometrically using Stokes graphs.