Inverse problems for the minimal surface equation and semilinear elliptic partial differential equations

Abstract

Tässä väitöskirjassa tutkitaan inversio-ongelmia epälineaarisille osittaisdifferentiaaliyhtälöille, joista erityisesti keskitytään inversio-ongelmiin minimipintayhtälölle ja semilineaarisille yhtälöille. Tässä työssä näytetään, että ratkaisujen reunamittauksista voidaan saada tietoa geometriasta tai yhtälön kertoimista. Työn tärkeimpiä työkaluja ovat ensimmäisen asteen ja korkeamman asteen linearisaatio. Johdannossa kuvaillaan inversio-ongelmia osittaisdifferentiaaliyhtälöille Calder´onin ongelman kontekstissa ja annetaan katsaus linearisaatiotekniikoihin liittyvään kirjallisuuteen. Lisäksi esitellään tutkielmaan sisältyvien artikkeleiden päätulokset sekä todistuksiin käytetyt tekniikat. Artikkelit (A) ja (C) keskittyvät inversio-ongelmiin minimipintayhtälölle. Molemmissa artikkeleissa minimipintayhtälöä katsotaan euklidisessa avaruudessa, joka on varustettu Riemannin metriikalla ja reunamittauksista saadaan tietoa tästä metriikasta. Artikkelissa (A) metriikka on konformisesti euklidinen ja artikkelissa (C) metriikka kuuluu hyväksyttäviin metriikoihin. Päätyökalu molemmissa artikkeleissa on korkeamman asteen linearisaatio. Artikkeleissa (B) ja (D) tutkitaan inversio-ongelmia semilineaarisille elliptisille yhtälöille. Artikkelin (B) yhtälössä on potenssityylinen epälineaarisuus ja tarkoituksena on määrittää rajoittamaton potentiaali reunamittauksista. Jälleen päätyökaluna on korkeamman asteen linearisaatio. Artikkelin (D) tarkoituksena on määrittää reunamittauksista yleinen nollannen asteen epälineaarisuus. Tärkein työkalu on ensimmäinen linearisaatio ja työssä parannetaan aikaisempia tuloksia tälle tekniikalle semilineaaristen yhtälöiden tapauksessa.

This thesis focuses on studying inverse problems for nonlinear elliptic partial differential equations and in particular inverse problems for the minimal surface equation and semilinear elliptic equations. It is shown that one can recover information about the coefficients of the equation or some geometric information from boundary measurements of solutions. The main tool used is linearization, both first order and higher order linearization. The introduction describes inverse problems for partial differential equations in the context of the Calder´on problem and gives a survey of the literature related to the linearization methods. Main theorems of the included articles are presented and the methods to prove them are also discussed. The articles (A) and (C) focus on inverse problems for the minimal surface equation. In both articles we look at the minimal surface equation in Euclidean space that is equipped with a Riemannian metric. Then from boundary measurements we determine information about the metric. In (A) the metric is conformally Euclidean and in (C) the metric will be in a class of admissible metrics. The main method used in both articles is the higher order linearization method. The remaining articles (B) and (D) study inverse problems for semilinear elliptic equations. In (B) the equation has a power type nonlinearity and the aim is to determine an unbounded potential from boundary measurements. Also in (B) the method used is the higher order linearization method. In (D) the focus is on recovering a general zeroth order nonlinearity from boundary measurements. Here the first linearization is used and we improve previous results for this method in the case of semilinear equations.