Reaaliluvut : historiaa, teoriaa ja pedagogiikkaa

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustuttaa lukija reaalilukujen historiaan, Dedekindin leikkauksiin sekä siihen, kuinka reaaliluvut määritellään opiskelijoille lukion ensimmäisenä opiskeluvuonna. Lukijalle pyritään myös avaamaan sitä, millainen prosessi matemaattisen käsitteen ymmärtämisen taustalla oikeastaan on. Reaalilukuja on osattu käyttää sujuvasti matematiikassa antiikin Kreikan ajoista lähtien, vaikka niille ei ole ollut olemassa täsmällistä määritelmää. Lopulta 1870-luvulla pieni joukko lahjakkaita matemaatikoita kykeni luomaan reaaliluvuille useamman erilaisen täsmällisen määritelmän, joista suosituimpia käytetään edelleen. Saksalainen Richard Dedekind käytti määritelmässään niin kutsuttuja Dedekindin leikkauksia, joihin päästään tutustumaan tarkemmin tässä tutkielmassa. Reaalilukujen täsmällisen määritelmän ymmärtäminen vaatii jo pitkälle kehittynyttä matemaattista ajattelukykyä ja tästä johtuen reaaliluvut esitellään lukiolaisille usein vain hyvin yleisellä tasolla ilman, että mennään täsmällisiin yksityiskohtiin. Matemaattisen käsitteen ymmärtämiseen kuuluu monta erilaista vaihetta, joiden yhteydessä käytetään erilaisia apukeinoja, kuten ajattelumalleja. Nämä mallit näyttelevätkin tärkeää roolia matematiikan opiskelussa, sillä niiden avulla uusia haastavia asioita pystytään jäsentämään selkeämpään ja informatiivisempaan muotoon. Monelle lukiolaiselle reaaliluvun käsite on vielä verrattain epäselvä, mikä todennäköisesti johtuu sekä opiskelijoiden vielä rakenteilla olevasta matemaattisesta ajattelutaidosta että havainnosta, jonka mukaan irrationaaliluvut ja yleisesti lukualueen laajentaminen ovat opiskelijoille vaikeita aiheita. Lukijalle myös kerrotaan minkälaisin keinoin voitaisiin helpottaa tätä opiskelijoiden läpikäymää ymmärtämisen prosessia. Tutkielman lopussa on toteutettu pienimuotoinen vertailu siitä, kuinka lukion pitkän matematiikan oppikirjoissa reaaliluvut esitellään opiskelijoille. Vertailun seurauksena löydetään huomattavia eroja muun muassa irrationaalilukuihin liittyvässä tiedon määrässä sekä asioiden esitysjärjestyksessä. Pohdintaa käydään myös siitä, mitä mahdollisia syitä näille oppikirjoihin päätyneille sisällöllisille ratkaisuille voisi olla.