Topologinen aste

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on luoda perusta topologiselle asteelle, ja todistaa siihen liittyviä tuloksia. Topologinen aste määritellään aluksi jatkuvasti derivoituville funktioille jossakin kyseisen funktion kuvapisteessä. Nämä ovat useasti moniulotteisia funktioita, joiden määrittelyjoukko ja kuvapisteiden joukko ovat samassa ulottuvuudessa. Topologinen aste tarkastelee funktion kuvapisteen alkukuvien ympäristön kuvautumista derivaattamatriisin determinantin avulla. Mikäli Jacobin determinantti saa positiivisen arvon, lisätään topologiseen asteeseen kokonaisluku yksi. Jos taas derivaattamatriisin arvo on negatiivinen kyseisen kuvapisteen alkukuvassa, topologisesta asteesta vähennetään luku yksi. Topologinen aste on siis funktio, joka laskee yhteen kuvapisteen alkukuvia, jossa derivaatan merkki määrää summattavan luvun. Kun on luotu perustaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden asteteorialle, määritelmää laajennetaan myös jatkuville funktioille. Topologinen aste jatkuvalle funktiolle määritellään jatkuvasti derivoituvan funktion avulla, joka on lähellä alkuperäistä funktiota kaikissa pisteissä. Niissä pisteissä, joissa funktion Jacobin determinantti saa arvon nolla, topologista astetta ei pystytä myöskään suoraan määrittelemään. Tämä voidaan kiertää muutaman tuloksen avulla. Topologista astetta ei kuitenkaan koskaan määritellä määrittelyjoukon reunan kuvapisteissä, sillä funktion käyttäytyminen joukon reunalla voi olla arvaamatonta. Tämä määrittelyjoukon reunan kuvajoukko on siis käytännössä jatkuville funktioille aina vähintään osa kuvajoukon reunasta. Tutkielman lopuksi käydään läpi myös muutamia lauseita, esimerkiksi Brouwerin kiintopistelause ja Jordanin erotuslause, joiden todistamisessa topologista astetta voidaan käyttää hyoödyksi.