Asymptoottiset kolmiot hyperbolisessa geometriassa

Abstract

Elisa Roivainen, Asymptoottiset kolmiot hyperbolisessa geometriassa (engl. Asymptotic Triangles in Hyperbolic Geometry), matematiikan pro gradu -tutkielma, 59 sivua, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, kevät 2016.

T ässä työssä esitellään asymptoottisia kolmioita koskevia tuloksia hyperbolisessa geometriassa. Asymptoottisilla kolmioilla tarkoitetaan kolmioita, joiden kärkipisteistä ainakin yksi on niin sanottu äärett ömyyspiste. Kolmion sivuista kaksi lähestyy siis toisiaan asymptoottisesti tuota pistettä kohti, mutta n ämä sivut eivät kuitenkaan leikkaa. Hyperbolisella geometrialla taas tarkoitetaan geometriaa, jossa neutraalin geometrian aksioomien lisäksi aksioomaksi on valittu paralleeliaksiooman negaatio. Olkoon l suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Paralleeliaksiooman mukaan tällöin on olemassa vain yksi pisteen P kautta kulkeva suora, joka on yhdensuuntainen suoran l kanssa. Aksiooman negaation mukaan siis on olemassa ainakin yksi suora l ja yksi piste P, joka ei ole suoralla l, siten, että tämän pisteen kautta kulkee ainakin kaksi suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia suoralle l. Tässä tutkielmassa käytetään kuitenkin hyperbolisena aksioomana tämän negaation vahvempaa muotoa: Olkoon l suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Tällöin on olemassa kaksi pisteen P kautta kulkevaa suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia suoralle l ja lähestyvät sit ä asymptoottisesti. Vahvemman muodon mukaan siis kaikille suorille l ja kaikille pisteille P, jotka eivät ole suoralla l, pätee, että pisteen P kautta kulkee ainakin kaksi suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia suoralle l. Lisäksi se takaa asymptoottisesti toisiaan lähestyvien suorien olemassaolon.

Puolisuorat voidaan luokitella sen mukaan, mitä äärett ömyyspistett ä kohti ne kulkevat. Samansuuntaiset eli samalla suoralla samaan suuntaan olevat puolisuorat kulkevat kohti samaa äärett ömyyspistett ä, samoin toisiaan asymptoottisesti lähestyvät puolisuorat. Kun määritellään rajayhdensuuntaisiksi puolisuorat, jotka ovat joko samansuuntaiset tai asymptoottisesti yhdensuuntaiset, voidaan rajayhdensuuntaisuus todistaa ekvivalenssirelaatioksi. Tämän ekvivalenssirelaation avulla puolisuorat voidaan luokitella yksikäsitteisesti.

Yksinkertaiset asymptoottiset kolmiot muodostuvat kahdesta asymptoottisesti toisiaan lähestyvästä ä puolisuorasta ja janasta, joka yhdistää puolisuorien alkupisteet. Tällaisen kolmion kärkipisteistä yksi on siis äärett ömyyspiste, ja sillä on kaksi kulmaa ja yksi sivujana. Hyperbolinen aksiooma takaa asymptoottisten puolisuorien olemassaolon, joten myös yksinkertaisia asymptoottisia kolmioita on olemassa. Yksinkertaisille asymptoottisille kolmioille todistetaan tässä työssä kaksi yhtenevyyslausetta sekä ulkokulmaep äyht äl ön vastine. Yhtenevyyslauseiden mukaan yksinkertaiset asymptoottiset kolmiot ovat yhtenevät, jos niillä on kaksi yhtenevää osaa, joko molemmat kulmat tai kulma ja sivujana.

Kaksinkertaiset asymptoottiset kolmiot koostuvat kulmasta ja sen sulkevasta suorasta. Kulman sulkeva suora on suora, jonka päät lähestyvät kulman molempia kylkiä asymptoottisesti. Jokaiselle kulmalle tällainen suora on olemassa ja se on yksikäsitteinen, mutta olemassaolotodistus on monimutkainen. Todistuksessa konstruoidaan kulman sulkeva suora, joka on kahden tietyll ä tavalla valitun yhdensuuntaisen suoran yhteinen normaali. Ensin täytyy kuitenkin osoittaa, että nämä suorat ovat yhdensuuntaiset ja että ne eivät lähesty toisiaan asymptoottisesti, mikä tekee todistuksesta monimutkaisen. Lisäksi todistetaan yhtenevyyslause kaksinkertaisille asymptoottisille kolmioille: yhteneville kulmille kulman kärkipiste on yhtä etäällä kulman sulkevasta suorasta.

On myös mahdollista, että kolme suoraa lähestyy toisiaan asymptoottisesti pareittain siten, että muodostuu kolmio, jolla on kolme äärett ömyyspistett ä eikä yhtään varsinaista kulmaa. Tällaisia kolmiota sanotaan kolminkertaisiksi asymptoottisiksi kolmioiksi, ja niiden olemassaolo seuraa suoraan kulman sulkevan suoran olemassaolosta. Myös tällaisille kolmioille todistetaan yhtenevyyslause, jonka mukaan kaikki kolminkertaiset asymptoottiset kolmiot ovat yhteneviä keskenään. Tätä todistusta varten määritellään myös ääret tömyyspisteessä oleva yleistetty kulma ja sen puolittaja. Yleistetty kulmanpuolittaja on olemassa jokaiselle yleistetylle kulmalle ja se on yksikäsitteinen.