Ympyrän homeomorfismien dynamiikkaa

Abstract

Tässä tutkielmassa perehdytään ympyrädynamiikkaan, jota tutkitaan kiertojen avulla. Kiertojen analysointiin käytetään pisteiden ratoja ja jaksollisia pisteitä. Tutkielmassa tutustutaan myös nostoihin ja kiertolukuihin. Homeomorfismien käyttäytymistä tutkitaan kiertoluvun avulla. Jos kiertoluku on rationaalinen, radan käytäytyminen on jaksollista. Jos taas kiertoluku on irrationaalinen, niin pisteen rata on tiheä tai Cantorin joukko. Tutkielmassa todistetaan Poincar`en luokittelulause, joka kuvailee ympyrähomeomorfismien ratojen käyttäytymistä. Poincar´en luokittelulauseen mukaan homeomor- fismi f, jonka kiertoluku ρ on irrationaalinen, on topologinen konjugaatti kierron Rρ kanssa, jos homeomorfismi on transitiivinen. Jos homeomorfismi ei ole transitiivinen, niin kierto ja homeomorfismi ovat topologisia tekijöitä. Toisessa luvussa tutustutaan Denjoyn esimerkkiin ja lauseeseen. Denjoyn lause liittyy diffeomorfismeihin. Sen mukaan diffeomorfismi on transitiivinen, jos sen kiertoluku on irrationaalinen ja derivaatta on rajoitetusti heilahteleva. Denjoyn esimerkissäa näytetään, kuinka modostetaan ilman jaksollisia pisteitä ympyrädiffeomorfismi, joka ei ole transitiivinen. Kolmannessa luvussa tutustutaan Cantorin joukkoon, pirunporrasfunktioon ja Arnoldin kieliin ympyräadiffeomorfismiperheiden kautta.