Skaalainvarianssi kvanttimekaniikassa

Abstract

Tässä tutkielmassa tarkastellaan klassisesti skaalainvarianttia systeemiä kvanttimekaniikan keinoin. Lähtökohdaksi otetaan klassinen mekaniikka, ja tarkastelemalla vaikutusintegraalia todetaan, että ainoa systeemin skaalainvarianssin takaava potentiaali on muotoa D/r^2, missä D on vakio. Tämän jälkeen siirrytään ratkaisemaan Schrödingerin yhtälöä kyseiselle potentiaalille. Ensiksi huomataan, että dimensioanalyysin perusteella sidottuja tiloja esittäviä ratkaisuja ei voi olla. Lisäksi havaitaan negatiivisia energioita vastaavien tilojen olevan ongelmallisia. Nämä ongelmat asetetaan kuitenkin sivuun, ja ratkaistaan ominaisarvo-ongelma suoraviivaisesti. Tuloksena saadaan negatiivisille energioille matemaattisesti hyvin määritellyt ratkaisut. Ongelmaksi muodostuvat kuitenkin ratkaisujen raju oskillointi origon läheisyydessä sekä negatiiviseen äärettömyyteen jatkuvat energiat. Katkaisemalla potentiaali etäisyydelle epsilon origosta ja ratkaisemalla ominaisarvo-ongelma uudestaan saadaan alhaalta rajoitettu diskreetti energiaspektri, joka vastaa odotuksia fysikaalisesta tilanteesta. Seuraavaksi ongelmana on rajan epsilon -> 0 ottaminen siten, että tilanteen fysikaalinen mielekkyys säilyy. Ratkaisu saadaan vaatimalla, että perustilan energia E_1 pysyy rajaprosessissa vakiona. Muut energiatilat häviävät rajankäynnissä, ja potentiaalin voimakkuutta kuvaavan parametrin arvo määräytyy. Tutkielman viimeisessä osiossa keskustellaan klassisen ja kvanttimekaanisen analyysin välisestä erosta. Skaalainvariantissa systeemissä ei voi esiintyä energiaskaalaa, kuten dimensioanalyysikin jo ennakoi. Pitkän analyysin seurauksena saatiin kuitenkin ratkaisu, jolla on hyvin määritelty perustila. Näennäisen ristiriidan todetaan olevan seurausta anomaalisesta symmetriarikosta, joka tapahtuu siirryttäessä klassisesta teoriasta kvanttiteoriaan. Tässä työssä tarkasteltu 1/r^2 -potentiaali on esimerkki tapauksesta, jossa systeemillä klassisesti ollut symmetria, tässä tapauksessa skaalainvarianssi, rikkoutuu siirryttäessä kvanttiteoriaan. Lopuksi esitellään lyhyesti muita symmetriarikkoja sekä joitakin niihin liittyviä ilmiöitä.

In this Bachelor’s thesis a classically scale invariant system is studied from a quantum mechanical point of view. By studying the classical action integral it is first derived, that the only potential that guarantees a system to be scale invariant is the infamous inverse square potential D/r^2 , where D is a constant. Next, the potential is inserted into Schrödinger’s equation. It is first noted that on the grounds of dimensional analysis there cannot be bound states. Also, negative energy states are noticed to be problematic. These problems are put aside, and the eigenvalue problem is solved straightforwardly, resulting with normalizable solutions for the negative energy states. Although the solutions are well defined mathematically, they do not satisty the usual expectations one has for a physical system. There is no ground state energy, and the solutions oscillate infinitely rapidly near the origin. As the origin is problematic, the potential is introduced again with a cutoff distance epsilon from the origin. The eigenvalue problem is solved again, resulting with a bounded discrete energy spectrum. The next problem is how to take the limit epsilon -> 0 without losing the physical properties of the situation. The answer is to require that the ground state energy remains constant during the process. When the limit is taken, all excited states vanish, and the value of the coupling constant, describing the strength of the potential in question, is fixed. The last part of this thesis deals with the differences between the classical and quantum mechanical analyses. A preferred energy scale cannot exist since the system is scale invariant, an argument supported by the dimensional analysis. Yet a solution with a well defined ground state was obtained. This seeming conflict between the analyses is identified to be a consequence of a phenomenon called anomalous symmetry breaking. Thus, the study of the inverse square potential offers an example of broken scale invariance. The symmetry of the classical situation is broken by quantization when a quantum mechanical analysis is carried out. Finally, other symmetry breakings occuring in physics are shortly introduced.