Elinaikojen mallinnus kvantiilisekoitusten avulla

Abstract

Polynomiset kvantiilisekoitukset on yhden muuttujan parametrinen malliperhe, jossa mallinnetaan jakauman kvantiilifunktio lineaarikombinaationa ns. pohjajakauman kvantiilifunktiosta ja toisen asteen polynomista. Tämä generoi tiettyjen ehtojen täyttyessä todennäköisyysjakauman. Tällaisen mallin idea on lisätä pohjajakaumaan esimerkiksi vinous- ja huipukkuuskomponentteja kvantiilifunktioon lisätyn polynomin muodossa. Kvantiilisekoitusmallia voi soveltaa elinaikojen mallinnukseen mallintamalla elinaikojen logaritmia tällaisilla kvantiilisekoituksilla. Tämä antaa eksponenttimuunnoksella mallin alkuperäiselle elinaikajakaumalle. Logaritmiskaalan pohjafunktioksi voidaan valita esimerkiksi normaalijakauma, logaritminen eksponenttijakauma tai logaritminen Gamma(1,2)-jakauma, joiden generoimat elinaikaskaalan mallit saavat nimet lognormaali-polynominen, eksponentti-polynominen ja gamma-polynominen kvantiilisekoitus. Huomataan, että näiden mallien parametrit voidaan estimoida esimerkiksi niin sanottujen L-momenttien avulla, suurimman uskottavuuden menetelmän tai kvantiilifunktioon sovelletun pienimmän neliösumman menetelmän avulla. Simuloimalla jakaumia ja vertaamalla niitä Weibull-jakaumaan nähdään, että lognormaalipolynominen malli voi olla heikohko elinaikojen mallinnuksessa, mutta kaksi viimeistä toimivat paremmin, ja ne ovat varsin joustavia malleja, joilla voi mallintaa hyvin erilaisia elinaika-aineistoja. Erityisesti havaitaan, että eksponentti-polynominen malli yleistää Weibull-jakauman. Soveltamalla näitä malleja suomalaisten käytössä olevien matkapuhelinten ikärakennetta kuvaavaan aineistoon nähdään muun muassa, että vanhemmilla ihmisillä käytössä olevat puhelimet ovat keskimäärin vanhempia.